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https://texercises.com/exercise/wegzusammenhangende-teilmengen-von-r/
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Exercise:
Sei Osubseteq mathbbR^d für dgeq eine nicht-leere offene Teilmenge. Dann ist O genau dann wegzusammenhäng wenn O zusammenhäng ist.

Solution:
Beweis Skript. Ist O wegzusammenhäng so ist O auch zusammenhäng nach Lemma .. Sei nun O zusammenhäng und x_in O ein fester Punkt. Man definiert die Teilmenge Gxin O|textes gibt einen Weg in O von x_ nach x und will zeigen dass G sowohl offen als auch abgeschlossen ist. Sei xin G und gamma:longrightarrow O ein Weg von x_ nach x. Da O offen ist gibt es ein epsilon mit B_epsilonxsubseteq O. Für ein yin B_epsilonx liegt der gerade Weg tin mapsto -tx+ty der x mit y verbindet in O. glqq Klebtgrqq man nun beide Wege zusammen so erhält man den Weg tinmapsto cases gammatquad textfalls geq tleq -tx+t-y textfalls tleq cases von x_ nach y Stetigkeit folgt direkt aus Übung .. Also liegt yin G und da y beliebig war B_epsilonxsubseteq G. Man hat somit gezeigt dass G offen ist. Mit ähnlichen Argumenten zeigt man dass Obackslash G offen ist. Ist xnotin G und epsilon mit B_epsilonxsubseteq O so liegen alle Punkte in B_epsilonx auch nicht in G. Denn wäre yin Gcap B_epsilonx so könnte man durch eine Verkettung von Wegen wie oben auch x mit x_ durch einen Weg verbinden. Also ist B_epsilonxsubseteq Obackslash G und Obackslash G ist offen. Da O aber zusammenhäng ist muss entweder G oder Obackslash G leer sein. Da x_in G liegt ist also Obackslash G leer und G. Per Definition von G lässt sich also jeder Punkt in O durch einen Weg mit x_ verbinden. Sind yy'in O zwei beliebige punkte so ist die Verkettung eines Weges von y nach x_ mit einem Weg von x_ nach y' ein Weg von y nach y'. Also ist O wegzusammenhäng. Alternative Übung . Serie . todo
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\(\LaTeX\)-Code
Exercise:
Sei Osubseteq mathbbR^d für dgeq eine nicht-leere offene Teilmenge. Dann ist O genau dann wegzusammenhäng wenn O zusammenhäng ist.

Solution:
Beweis Skript. Ist O wegzusammenhäng so ist O auch zusammenhäng nach Lemma .. Sei nun O zusammenhäng und x_in O ein fester Punkt. Man definiert die Teilmenge Gxin O|textes gibt einen Weg in O von x_ nach x und will zeigen dass G sowohl offen als auch abgeschlossen ist. Sei xin G und gamma:longrightarrow O ein Weg von x_ nach x. Da O offen ist gibt es ein epsilon mit B_epsilonxsubseteq O. Für ein yin B_epsilonx liegt der gerade Weg tin mapsto -tx+ty der x mit y verbindet in O. glqq Klebtgrqq man nun beide Wege zusammen so erhält man den Weg tinmapsto cases gammatquad textfalls geq tleq -tx+t-y textfalls tleq cases von x_ nach y Stetigkeit folgt direkt aus Übung .. Also liegt yin G und da y beliebig war B_epsilonxsubseteq G. Man hat somit gezeigt dass G offen ist. Mit ähnlichen Argumenten zeigt man dass Obackslash G offen ist. Ist xnotin G und epsilon mit B_epsilonxsubseteq O so liegen alle Punkte in B_epsilonx auch nicht in G. Denn wäre yin Gcap B_epsilonx so könnte man durch eine Verkettung von Wegen wie oben auch x mit x_ durch einen Weg verbinden. Also ist B_epsilonxsubseteq Obackslash G und Obackslash G ist offen. Da O aber zusammenhäng ist muss entweder G oder Obackslash G leer sein. Da x_in G liegt ist also Obackslash G leer und G. Per Definition von G lässt sich also jeder Punkt in O durch einen Weg mit x_ verbinden. Sind yy'in O zwei beliebige punkte so ist die Verkettung eines Weges von y nach x_ mit einem Weg von x_ nach y' ein Weg von y nach y'. Also ist O wegzusammenhäng. Alternative Übung . Serie . todo
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Attributes & Decorations
Tags
analysis, beweis, eth, fs23, proof, topologie, zusammenhängend
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Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Creator rk
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