Wegzusammenhängende Teilmengen von R
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
Question
Solution
Short
Video
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Exercise:
Sei Osubseteq mathbbR^d für dgeq eine nicht-leere offene Teilmenge. Dann ist O genau dann wegzusammenhäng wenn O zusammenhäng ist.
Solution:
Beweis Skript. Ist O wegzusammenhäng so ist O auch zusammenhäng nach Lemma .. Sei nun O zusammenhäng und x_in O ein fester Punkt. Man definiert die Teilmenge Gxin O|textes gibt einen Weg in O von x_ nach x und will zeigen dass G sowohl offen als auch abgeschlossen ist. Sei xin G und gamma:longrightarrow O ein Weg von x_ nach x. Da O offen ist gibt es ein epsilon mit B_epsilonxsubseteq O. Für ein yin B_epsilonx liegt der gerade Weg tin mapsto -tx+ty der x mit y verbindet in O. glqq Klebtgrqq man nun beide Wege zusammen so erhält man den Weg tinmapsto cases gammatquad textfalls geq tleq -tx+t-y textfalls tleq cases von x_ nach y Stetigkeit folgt direkt aus Übung .. Also liegt yin G und da y beliebig war B_epsilonxsubseteq G. Man hat somit gezeigt dass G offen ist. Mit ähnlichen Argumenten zeigt man dass Obackslash G offen ist. Ist xnotin G und epsilon mit B_epsilonxsubseteq O so liegen alle Punkte in B_epsilonx auch nicht in G. Denn wäre yin Gcap B_epsilonx so könnte man durch eine Verkettung von Wegen wie oben auch x mit x_ durch einen Weg verbinden. Also ist B_epsilonxsubseteq Obackslash G und Obackslash G ist offen. Da O aber zusammenhäng ist muss entweder G oder Obackslash G leer sein. Da x_in G liegt ist also Obackslash G leer und G. Per Definition von G lässt sich also jeder Punkt in O durch einen Weg mit x_ verbinden. Sind yy'in O zwei beliebige punkte so ist die Verkettung eines Weges von y nach x_ mit einem Weg von x_ nach y' ein Weg von y nach y'. Also ist O wegzusammenhäng. Alternative Übung . Serie . todo
Sei Osubseteq mathbbR^d für dgeq eine nicht-leere offene Teilmenge. Dann ist O genau dann wegzusammenhäng wenn O zusammenhäng ist.
Solution:
Beweis Skript. Ist O wegzusammenhäng so ist O auch zusammenhäng nach Lemma .. Sei nun O zusammenhäng und x_in O ein fester Punkt. Man definiert die Teilmenge Gxin O|textes gibt einen Weg in O von x_ nach x und will zeigen dass G sowohl offen als auch abgeschlossen ist. Sei xin G und gamma:longrightarrow O ein Weg von x_ nach x. Da O offen ist gibt es ein epsilon mit B_epsilonxsubseteq O. Für ein yin B_epsilonx liegt der gerade Weg tin mapsto -tx+ty der x mit y verbindet in O. glqq Klebtgrqq man nun beide Wege zusammen so erhält man den Weg tinmapsto cases gammatquad textfalls geq tleq -tx+t-y textfalls tleq cases von x_ nach y Stetigkeit folgt direkt aus Übung .. Also liegt yin G und da y beliebig war B_epsilonxsubseteq G. Man hat somit gezeigt dass G offen ist. Mit ähnlichen Argumenten zeigt man dass Obackslash G offen ist. Ist xnotin G und epsilon mit B_epsilonxsubseteq O so liegen alle Punkte in B_epsilonx auch nicht in G. Denn wäre yin Gcap B_epsilonx so könnte man durch eine Verkettung von Wegen wie oben auch x mit x_ durch einen Weg verbinden. Also ist B_epsilonxsubseteq Obackslash G und Obackslash G ist offen. Da O aber zusammenhäng ist muss entweder G oder Obackslash G leer sein. Da x_in G liegt ist also Obackslash G leer und G. Per Definition von G lässt sich also jeder Punkt in O durch einen Weg mit x_ verbinden. Sind yy'in O zwei beliebige punkte so ist die Verkettung eines Weges von y nach x_ mit einem Weg von x_ nach y' ein Weg von y nach y'. Also ist O wegzusammenhäng. Alternative Übung . Serie . todo
Meta Information
Exercise:
Sei Osubseteq mathbbR^d für dgeq eine nicht-leere offene Teilmenge. Dann ist O genau dann wegzusammenhäng wenn O zusammenhäng ist.
Solution:
Beweis Skript. Ist O wegzusammenhäng so ist O auch zusammenhäng nach Lemma .. Sei nun O zusammenhäng und x_in O ein fester Punkt. Man definiert die Teilmenge Gxin O|textes gibt einen Weg in O von x_ nach x und will zeigen dass G sowohl offen als auch abgeschlossen ist. Sei xin G und gamma:longrightarrow O ein Weg von x_ nach x. Da O offen ist gibt es ein epsilon mit B_epsilonxsubseteq O. Für ein yin B_epsilonx liegt der gerade Weg tin mapsto -tx+ty der x mit y verbindet in O. glqq Klebtgrqq man nun beide Wege zusammen so erhält man den Weg tinmapsto cases gammatquad textfalls geq tleq -tx+t-y textfalls tleq cases von x_ nach y Stetigkeit folgt direkt aus Übung .. Also liegt yin G und da y beliebig war B_epsilonxsubseteq G. Man hat somit gezeigt dass G offen ist. Mit ähnlichen Argumenten zeigt man dass Obackslash G offen ist. Ist xnotin G und epsilon mit B_epsilonxsubseteq O so liegen alle Punkte in B_epsilonx auch nicht in G. Denn wäre yin Gcap B_epsilonx so könnte man durch eine Verkettung von Wegen wie oben auch x mit x_ durch einen Weg verbinden. Also ist B_epsilonxsubseteq Obackslash G und Obackslash G ist offen. Da O aber zusammenhäng ist muss entweder G oder Obackslash G leer sein. Da x_in G liegt ist also Obackslash G leer und G. Per Definition von G lässt sich also jeder Punkt in O durch einen Weg mit x_ verbinden. Sind yy'in O zwei beliebige punkte so ist die Verkettung eines Weges von y nach x_ mit einem Weg von x_ nach y' ein Weg von y nach y'. Also ist O wegzusammenhäng. Alternative Übung . Serie . todo
Sei Osubseteq mathbbR^d für dgeq eine nicht-leere offene Teilmenge. Dann ist O genau dann wegzusammenhäng wenn O zusammenhäng ist.
Solution:
Beweis Skript. Ist O wegzusammenhäng so ist O auch zusammenhäng nach Lemma .. Sei nun O zusammenhäng und x_in O ein fester Punkt. Man definiert die Teilmenge Gxin O|textes gibt einen Weg in O von x_ nach x und will zeigen dass G sowohl offen als auch abgeschlossen ist. Sei xin G und gamma:longrightarrow O ein Weg von x_ nach x. Da O offen ist gibt es ein epsilon mit B_epsilonxsubseteq O. Für ein yin B_epsilonx liegt der gerade Weg tin mapsto -tx+ty der x mit y verbindet in O. glqq Klebtgrqq man nun beide Wege zusammen so erhält man den Weg tinmapsto cases gammatquad textfalls geq tleq -tx+t-y textfalls tleq cases von x_ nach y Stetigkeit folgt direkt aus Übung .. Also liegt yin G und da y beliebig war B_epsilonxsubseteq G. Man hat somit gezeigt dass G offen ist. Mit ähnlichen Argumenten zeigt man dass Obackslash G offen ist. Ist xnotin G und epsilon mit B_epsilonxsubseteq O so liegen alle Punkte in B_epsilonx auch nicht in G. Denn wäre yin Gcap B_epsilonx so könnte man durch eine Verkettung von Wegen wie oben auch x mit x_ durch einen Weg verbinden. Also ist B_epsilonxsubseteq Obackslash G und Obackslash G ist offen. Da O aber zusammenhäng ist muss entweder G oder Obackslash G leer sein. Da x_in G liegt ist also Obackslash G leer und G. Per Definition von G lässt sich also jeder Punkt in O durch einen Weg mit x_ verbinden. Sind yy'in O zwei beliebige punkte so ist die Verkettung eines Weges von y nach x_ mit einem Weg von x_ nach y' ein Weg von y nach y'. Also ist O wegzusammenhäng. Alternative Übung . Serie . todo
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