Weltuntergang
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Exercise:
Die Masse der Sonne beträgt .ekg die Erde ist .em approx AE Astronomische Einheit von ihr entfernt. Wie lange würde es dauern bis die Erde im freien Fall in die Sonne gestürzt wäre?
Solution:
Der naheliege Ansatz wäre folger: sfracat^ fracast^ fracGMs^t^ s^fracGMt^ Mit sAE folgt t.esh.d. bf Das ist jedoch falsch! Die Formel sfracat^ gilt nur wenn atextconst. Das ist hier aber nicht der Fall! Je näher die Erde der Sonne kommt desto grösser wird die sie anziehe Kraft -- und damit auch die Beschleunigung. Der richtige Ansatz erfolgt einmal mehr über die Bewegungsgleichung: ma F ma fracGMms^ a fracGMs^ ddot s fracGMs^ Hierbei bezeichne s den aktuellen Mittelpunkts-Abstand zwischen Erde und Sonne Radien der Erde und Sonne sind zu vernachlässigen M die Masse der Sonne m die Masse der Erde und G die Gravitationskonstante. An dieser Stelle ist die Physik dieser Aufgabe bereits abgeschlossen. Nun folgt Mathematik. ddot s fracGMs^ && times dot s ddot s dot s fracGMs^ dot s && fracmboxdmboxdtdot s^ ddot s dot s frac fracmboxdmboxdt dot s^ fracGMs^ dot s && times fracmboxdmboxdt dot s^ fracGMs^ dot s && times mboxdt mboxd dot s^ fracGMs^ dot s mboxdt mboxd dot s^ fracGMs^ mboxds && quad Rrightarrow s mboxddot s^ _s^R fracGMs^ mboxds dot s^ GM leftfracs-fracRright fracmboxdsmboxdt sqrtGM leftfracs-fracRright Diese letzte Gleichung bezeichnet die aktuelle Geschwindigkeit vdot s der Erde an der aktuellen Position s. Mit etwas Umformen und einigen Substitutionen erhält man daraus die Zeit tR welche die Erde braucht um vom Abstand RpqAE auf die Sonne zu stürzen Abstand : fracmboxdssqrtGM leftfracs-fracRright mboxdt && rightarrow R Integriert man diese letzte Gleichung nach der Zeit so erhält man: tR _^R fracsqrtGM leftfracs-fracRrightmboxds sqrtfracGM _^R sqrtfracRsR-s mboxds sqrtfracRGM _^R sqrtfracsR-s mboxds && s:Rx quad mboxds R mboxdx sqrtfracRGM _^ sqrtfracRxR-Rx Rmboxdx && R textkürzen sqrtfracR^GM _^ sqrtfracx-x mboxdx && x:y^ quad mboxdx y mboxdy sqrtfracR^GM _^ fracysqrt-y^ y mboxdy sqrtfracR^GM _^ fracy^sqrt-y^ mboxdy && y:sinz quad mboxdy cosz mboxdz sqrtfracR^GM _^fracpi fracsin^zsqrt-sin^z coszmboxdz && sin^+cos^ sqrtfracR^GM _^fracpi fracsin^zcosz coszmboxdz sqrtfracR^GM _^fracpi sin^zmboxdz && sin^ -cos^ z-cossin+sin^ sqrtfracR^GM fracpi sqrtfracR^GM fracpi d
Die Masse der Sonne beträgt .ekg die Erde ist .em approx AE Astronomische Einheit von ihr entfernt. Wie lange würde es dauern bis die Erde im freien Fall in die Sonne gestürzt wäre?
Solution:
Der naheliege Ansatz wäre folger: sfracat^ fracast^ fracGMs^t^ s^fracGMt^ Mit sAE folgt t.esh.d. bf Das ist jedoch falsch! Die Formel sfracat^ gilt nur wenn atextconst. Das ist hier aber nicht der Fall! Je näher die Erde der Sonne kommt desto grösser wird die sie anziehe Kraft -- und damit auch die Beschleunigung. Der richtige Ansatz erfolgt einmal mehr über die Bewegungsgleichung: ma F ma fracGMms^ a fracGMs^ ddot s fracGMs^ Hierbei bezeichne s den aktuellen Mittelpunkts-Abstand zwischen Erde und Sonne Radien der Erde und Sonne sind zu vernachlässigen M die Masse der Sonne m die Masse der Erde und G die Gravitationskonstante. An dieser Stelle ist die Physik dieser Aufgabe bereits abgeschlossen. Nun folgt Mathematik. ddot s fracGMs^ && times dot s ddot s dot s fracGMs^ dot s && fracmboxdmboxdtdot s^ ddot s dot s frac fracmboxdmboxdt dot s^ fracGMs^ dot s && times fracmboxdmboxdt dot s^ fracGMs^ dot s && times mboxdt mboxd dot s^ fracGMs^ dot s mboxdt mboxd dot s^ fracGMs^ mboxds && quad Rrightarrow s mboxddot s^ _s^R fracGMs^ mboxds dot s^ GM leftfracs-fracRright fracmboxdsmboxdt sqrtGM leftfracs-fracRright Diese letzte Gleichung bezeichnet die aktuelle Geschwindigkeit vdot s der Erde an der aktuellen Position s. Mit etwas Umformen und einigen Substitutionen erhält man daraus die Zeit tR welche die Erde braucht um vom Abstand RpqAE auf die Sonne zu stürzen Abstand : fracmboxdssqrtGM leftfracs-fracRright mboxdt && rightarrow R Integriert man diese letzte Gleichung nach der Zeit so erhält man: tR _^R fracsqrtGM leftfracs-fracRrightmboxds sqrtfracGM _^R sqrtfracRsR-s mboxds sqrtfracRGM _^R sqrtfracsR-s mboxds && s:Rx quad mboxds R mboxdx sqrtfracRGM _^ sqrtfracRxR-Rx Rmboxdx && R textkürzen sqrtfracR^GM _^ sqrtfracx-x mboxdx && x:y^ quad mboxdx y mboxdy sqrtfracR^GM _^ fracysqrt-y^ y mboxdy sqrtfracR^GM _^ fracy^sqrt-y^ mboxdy && y:sinz quad mboxdy cosz mboxdz sqrtfracR^GM _^fracpi fracsin^zsqrt-sin^z coszmboxdz && sin^+cos^ sqrtfracR^GM _^fracpi fracsin^zcosz coszmboxdz sqrtfracR^GM _^fracpi sin^zmboxdz && sin^ -cos^ z-cossin+sin^ sqrtfracR^GM fracpi sqrtfracR^GM fracpi d