Exercise:
Beim Billard treffe die weisse Kugel mit vwO auf die ruhe schwarze Kugel. Beide haben gleiche Masse. Nach dem elastischen Stoss bewege sich die schwarze Kugel unter einem Winkel von alpO gegen die Richtung der einlaufen Kugel weg. abcliste abc In welche Richtung bewegt sich die weisse Kugel nach dem Stoss? abc Welche Geschwindigkeiten haben die beiden Kugeln nach dem Stoss? abcliste

Solution:
Der Spielball die weisse Kugel läuft anfangs mit v_vwO auf die schwarze Kugel zu; die Situation ist also die folge: center tikzpicturescale. BillardSpielball.; Billardkugel..black; drawdashed .--; drawcolorgreen!!black-latex .--. nodeabove midway v_vwO; tikzpicture center Die beiden Kugeln treffen sich dann so dass der schwarze Objektball in einem Winkel von alpO zur Einlaufrichtung der weissen Kugel wegrollt: center tikzpicturescale. BillardSpielball..; Billardkugel..black; drawdashed --; drawdashed --; drawxshift.cmcolorgreen!!black-latex :.cm -- +:.cm nodeabove v_'; drawcolorgreen!!black-latex .++-:.--+-:. nodeabove v_'; filldrawcolorred fillred!!white .--.. arc ::. -- cycle; nodecolorred at .+:. alpha; filldrawcolorblue fillblue!!white .--. arc :-:. -- cycle; nodecolorblue at .+-:. beta; tikzpicture center Die Richtung der weissen Kugel nach dem Stoss d.h. v_' ist bis dahin unklar. Da es sich hierbei um einen elastischen Stoss handelt gilt Energi und Impulserhaltung. medskip bf Energieerhaltung: Etot&mustbe Etot' sscEkin sscEkin' + sscEkin' fracm_v_^ fracm_v_'^ + fracm_v_'^ v_^ v_'^ + v_'^ bf Impulserhaltung in x-Richtung: sscptotx sscptotx' p_x  p_x' + p_x' m_v_x m_v_x' + m_v_x' v_ v_'cosbeta + v_'cosalpha bf Impulserhaltung in y-Richtung: sscptoty sscptoty'   p_y' + p_y' m_v_y' + m_v_y' v_'sinbeta + v_'sinalpha medskip bf Zusammenfassung: Die jeweils untersten Gleichungen bilden ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten v_' v_' und beta: tcolorboxams colframered!!black colbackyellow!!white topmm v_^ textcolorredv_'^ + textcolorredv_'^ labeleq:erste v_ textcolorredv_'costextcolorredbeta + textcolorredv_'cosalpha labeleq:zweite textcolorredv_'sintextcolorredbeta +textcolorredv_'sinalpha labeleq:dritte. tcolorbox Zunächst eliminieren wir den Winkel beta in den Gleichungen eqrefeq:zweite und eqrefeq:dritte. Dazu stellen wir Terme mit beta auf eine Seite... v_ - v_'cosalpha v_'cosbeta -v_'sinalpha v_'sinbeta quadrieren beide Gleichungen... v_^ - v_v_'cosalpha + v_'^cosalpha v_'^cosbeta v_'^sinalpha v_'^sinbeta und addieren sie unter Verwung dass sinx + cosx : v_^ - v_v_'cosalpha + v_'^ v_'^ Von dieser verbleiben Gleichung können wir nun eqrefeq:erste subtrahieren... -v_v_'cosalpha + v_'^ -v_'^ und schliesslich nach v_' auflösen: v_' v_ cosalpha vZ Setzt man dieses algebraische Ergebnis in eqrefeq:erste ein so erhält man... v_^ v_'^ + v_^cosalpha v_'^ v_^-cosalpha v_^sinalpha ... was man wiederum nach v_' auflösen kann: v_' v_ sinalpha vE Das eigentlch eressante Ergebnis ist der Winkel der weissen Kugel nach der Kollision; für die Bestimmung dieses Winkels beta setzen wir beide Ergebnisse in eqrefeq:dritte ein und lösen auf: v_'sinbeta + v_'sinalpha v_ sinalphasinbeta + v_ cosalphasinalpha sinbeta + cosalpha -sinbeta cosalpha sin-beta cosalpha -beta arcsincosalpha degree - alpha Man erhält das eressante und Billardspielern bekannte Ergebnis: beta -arcsincosalpha alpha - degree betQ Wir sehen dass die weisse Kugel unter einem Winkel von degree zur schwarzen Kugel weiter rollt. Das ist nicht nur für den gegebenen Winkel von degree so da stets arcsin-cosalpha alpha-degree gilt. center tikzpicturescale. BillardSpielball..; Billardkugel..black; drawdashed --; drawdashed --; drawxshift.cmcolorgreen!!black-latex :.cm -- +:.cm nodeabove v_'; drawxshift.cmdashedcolorred-latex :.cm -- +. nodebelow v_; drawxshift.cmdashed colorblulatex :cm -- +-:.cm nodeabove right v_'; drawxshift.cmcolorgreen!!black-latex -:.cm -- +-:.cm nodeabove right v_'; tikzpicture center Denke an diese Tatsache wenn du das nächste Mal Billard spielst. So wird es kein Zufall mehr sein ob du die weisse Kugel auch mitversenkst oder nichtdots