Zentrifuge
Question
Solution
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The following quantities appear in the problem:
Zeit \(t\) / Länge \(\ell\) / Kraft \(F\) / Trägheitsmoment \(J, \Theta, I\) / Drehmoment \(\vec M\) / Winkelgeschwindigkeit / Kreisfrequenz \(\omega\) / Winkelbeschleunigung \(\alpha\) / Winkel \(\theta\) /
The following formulas must be used to solve the exercise:
\(\gamma = \dfrac{\alpha}{2}t^2+\omega_0 t + \gamma_0 \quad \) \(M = J\alpha \quad \) \(\vec M = \vec \ell \times \vec F \quad \)
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Exercise:
Eine Zentrifuge deren Rotor sich mit wO dreht wird abgeschaltet und durch MO Reibungsdrehmoment gleichmässig zur Ruhe gebracht. Der Rotor kann in guter Näherung als Hohlzylinder mit mO Masse und rO Radius angesehen werden. Wie viele Umdrehungen macht der Rotor bevor er still steht und wie lange dauert das?
Solution:
Das Trägheitsmoment eines dünnwandigen Hohlzylinders ist: SolQtyJmX*rX^kilogrammetersquared J mr^ m qtyr^ J Die auf den Rotor wirke bremse Winkelbeschleunigung ist SolQtyalpMX/JXradpsq alpha fracMJ fracMmr^ fracMJ alp Bis der Rotor still steht vergehen SolQtytwX/alpXs SolQtytmtX/min t fracomegaalpha fracpi ffracMmr^ fracpi f mr^M fracwalp t tm Währ dieser Zeit legt der Rotor SolQtygm-alpX/*tX^+wX*tXrad SolQtygmggmX//pi gamma -fracalphat^+omega_ t -fracalp qtyt^+ w t gm zurück was N fracgammapi gmg ganzen Umdrehungen entspricht.
Eine Zentrifuge deren Rotor sich mit wO dreht wird abgeschaltet und durch MO Reibungsdrehmoment gleichmässig zur Ruhe gebracht. Der Rotor kann in guter Näherung als Hohlzylinder mit mO Masse und rO Radius angesehen werden. Wie viele Umdrehungen macht der Rotor bevor er still steht und wie lange dauert das?
Solution:
Das Trägheitsmoment eines dünnwandigen Hohlzylinders ist: SolQtyJmX*rX^kilogrammetersquared J mr^ m qtyr^ J Die auf den Rotor wirke bremse Winkelbeschleunigung ist SolQtyalpMX/JXradpsq alpha fracMJ fracMmr^ fracMJ alp Bis der Rotor still steht vergehen SolQtytwX/alpXs SolQtytmtX/min t fracomegaalpha fracpi ffracMmr^ fracpi f mr^M fracwalp t tm Währ dieser Zeit legt der Rotor SolQtygm-alpX/*tX^+wX*tXrad SolQtygmggmX//pi gamma -fracalphat^+omega_ t -fracalp qtyt^+ w t gm zurück was N fracgammapi gmg ganzen Umdrehungen entspricht.