Zusammenhang in reellen Zahlen
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Exercise:
Eine nicht-leere Teilmenge Xsubseteq mathbbR ist genau dann zusammenhäng wenn X ein Intervall ist.
Solution:
Beweis. Angenommen Xsubseteq mathbbR ist kein Intervall und seien atextinfX und btextsupX a sonst wäre es nur ein Punkt. Falls absubseteq X wäre dann wäre X doch ein Intervall. Also gibt es ein yin abbackslash X und nach Definition von a b Punkte x_in O_ -inftyycap X x_in O_ yinftycap X. Da y nicht in X liegt gilt XO_sqcup O_. Des Weiteren sind O_ und O_ offene nicht-leere Teilmengen von X und somit ist X nicht zusammenhäng. Sei nun XIsubseteq mathbbR ein Intervall. Angenommen es existiert eine nicht-leere abgeschloffene Teilmenge Ysubsetneq I. Man wählt ain Y und bin Ibackslash Y. O.B.d.A. kann man annehmen dass a b da man sonst einfach Y durch Ibackslash Y ersetzt. Da Ysubseteq I offen und ain Y ist ist Ycap ab nicht-leer. Man definiert stextsupYcap abtextsupYcap abin absubseteq I. Des Weiteren ist Ycap ab eine offene Teilmenge von mathbbR. Daher zeigt Lemma . dass snotin Y. Da Ysubseteq I abgeschlossen ist folgt zum Beispiel aus Lemma . dass Ycap ab eine abgeschlossene Teilmenge von mathbbR ist. Daher zeigt Lemma . dass sin Y ist. Dieser Widerspruch zeigt also dass es keine nicht-leere abgeschloffene Teilmenge Ysubsetneq I geben kann.
Eine nicht-leere Teilmenge Xsubseteq mathbbR ist genau dann zusammenhäng wenn X ein Intervall ist.
Solution:
Beweis. Angenommen Xsubseteq mathbbR ist kein Intervall und seien atextinfX und btextsupX a sonst wäre es nur ein Punkt. Falls absubseteq X wäre dann wäre X doch ein Intervall. Also gibt es ein yin abbackslash X und nach Definition von a b Punkte x_in O_ -inftyycap X x_in O_ yinftycap X. Da y nicht in X liegt gilt XO_sqcup O_. Des Weiteren sind O_ und O_ offene nicht-leere Teilmengen von X und somit ist X nicht zusammenhäng. Sei nun XIsubseteq mathbbR ein Intervall. Angenommen es existiert eine nicht-leere abgeschloffene Teilmenge Ysubsetneq I. Man wählt ain Y und bin Ibackslash Y. O.B.d.A. kann man annehmen dass a b da man sonst einfach Y durch Ibackslash Y ersetzt. Da Ysubseteq I offen und ain Y ist ist Ycap ab nicht-leer. Man definiert stextsupYcap abtextsupYcap abin absubseteq I. Des Weiteren ist Ycap ab eine offene Teilmenge von mathbbR. Daher zeigt Lemma . dass snotin Y. Da Ysubseteq I abgeschlossen ist folgt zum Beispiel aus Lemma . dass Ycap ab eine abgeschlossene Teilmenge von mathbbR ist. Daher zeigt Lemma . dass sin Y ist. Dieser Widerspruch zeigt also dass es keine nicht-leere abgeschloffene Teilmenge Ysubsetneq I geben kann.