Exercise:
Alice fällt bekanntlich durch ein Loch welches quer durch den Erdmittelpunkt bis zum ihr gegenüberliegen Punkt auf der Erde den Antipoden verläuft. abcliste abc Zeige dass Alice in diesem Kanal eine harmonische Schwingung ausführt. abc Gib Alice' Ort als Funktion der Zeit an; d.h. bestimme yt. Vergiss nicht die Amplitude A und die Schwingungsdauer T als Zahlenwert anzugeben. abc Wie lange würde es dauern bis man auf der anderen Seite der Erde ankommt wenn man in dieses Loch springt? abcliste

Solution:
abcliste abc Die Kraft welche Alice zur Ruhelage im Erdmittelpunkt bzw. dem Mittelpunkt des Kanals zurücktreibt ist die Gravitationskraft: F -G fractilde M my^ Dabei bezeichnet tilde M den Massenanteil der Erde welcher innerhalb der Teilkugel ist auf wessen Rand Alice sich aktuell gerade befindet; mit m bezeichnen wir die Masse von Alice mit y ihre aktuelle Position Elongation. Der Massenanteil tilde M können wir schreiben als: tilde M rho tilde V rho frac pi y^ fracMfrac pi R^ frac pi y^ M fracy^R^ Oben eingesetzt ergibt sich für die rücktreibe Kraft: F -G fracMy^mR^y^ -underbraceG fracMmR^_K y Damit ist gezeigt dass die rücktreibe Kraft proportional zur Elongation ist; somit handelt es sich hierbei um eine harmonische Schwingung. abc Alice führt in dem Loch durch die Erde eine harmonische Schwingung aus; mit der folgen Kreisfrequenz und Schwingungsdauer: omega sqrtfracKm sqrtfracGMR^ .radianpersecond T fracpiomega .es &approx h~min Die maximale Elongation also die Amplitude ist der Erdradius d.h. A.em. Die Elongation in Abhängigkeit der Zeit ist -- weil Alice ja sicher irgwo am glqq Randgrqq startet -- eine Cosinus-Funktion: yt A cosomega t abc Es würde etwa eine halbe Schwingungsdauer also etwa min dauern. abcliste