Exercise:
center tikzpicturescale. %Baumstamm %wolfram solvey/*x^+/*x^-/y %y: x. und x. %y: x. und x. %y: x. und x. scope tikzsetdeclare functionfx/*powx+/*powx--/; filldrawthick domain-:-. colorBrown plot x fx---.-------; filldrawthick domain.: colorBrown ------ plot x fx; scope %Kiesweg scope foreach i in ... pgfmathsetmacroxrandom-/ pgfmathsetmacroyrandom-/ pgfmathsetmacrosizerandom/ pgfmathsetmacrograyshaderandom/ definecolorRandomGraygraygrayshade fillRandomGray xy circle size pt; scope %Baumkrone grün scopescale drawleft colorgreen!!black right colorgreen!!black shading angle opacity. -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- - . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- - . -- - . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- - . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- - . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- - . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . -- . -- . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- cycle; scope % Baumkrone Muster scopescale clip -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- - . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- - . -- - . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- - . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- - . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- - . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- -. . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . -- . -- . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- . . -- cycle; % Custom style for the dots %tikzstylegreenishDot circle fillgreen!!black inner seppt minimum sizept % Generate random dots within an area that covers the clipping path foreach i in ... pgfmathsetmacroxrandom-/ % x coordinate pgfmathsetmacroyrandom/ % y coordinate pgfmathsetmacrosizerandom/ % Random size adjust range as needed pgfmathsetmacrogreenComponentrandom definecolorRandomGreenRGBgreenComponent fillRandomGreen xy circle size pt; %nodegreenishDot at xy ; foreach i in ... pgfmathsetmacroxrandom-/ % x coordinate pgfmathsetmacroyrandom/ % y coordinate pgfmathsetmacrosizerandom/ % Random size adjust range as needed pgfmathsetmacrogreenComponentrandom definecolorRandomGreenRGBgreenComponent fillRandomGreen xy circle size pt; %nodegreenishDot at xy ; scope % Funktion auf Baumstamm scope defxmin- defxmax defymin defymax %%% defmyA. defmyB. %%% tikzsetscale. tikzsetsmooth tikzsetlatex %%% tikzsetcol/.stylered tikzsetcol/.stylegreen!!black tikzsetcol/.styleblue tikzsetpkt/.stylecircledrawfillwhiteinner seppt tikzsetdeclare functionfx/*powx+/*powx--/; %%% drawhelp lines xminymin grid xmaxymax; %%% drawultra thick- colorgreen xmin-. -- xmax+. noderight r; drawultra thick- colorgreen ymin-. -- ymax+. nodeabove colorwhite h; %%% clip xminymin rectangle xmaxymax; %%% %drawthickcoldomain-myB:-myA plot x fx; drawultra thickcoldomainmyA:myB plot x fx; scope tikzpicture center noindent Die Form des Stammes unseres Kollegibaums soll im Folgen durch die Funktion hr dfracr^ + dfracr^ - dfrac angenähert werden. Eine Ameise fängt nun am Fusse des Stammes an entlang von diesem Richtung Spitze des Baumes zu laufen. abcliste abc Bestimme numerisch allenfalls mit Hilfe des Taschenrechners welchen Abstand r vom Zentrum des Stammes die Ameise am Boden Höhe null sowie in hO Höhe hat. abc Wie weit ist die Ameise -- entlang des extra für sie glatt geschliffenen Stammes -- gelaufen rot eingezeichneter Weg in der Skizze wenn sie hO Höhe erreicht? abcliste

Solution:
abcliste abc Die Abstände von der Zentralachse des Baumes findet man mittels Nullstellensuche auf dem Taschenrechner: fa mustbe h Rightarrow a xa fb mustbe Rightarrow b xb abc Das Wegegral ergibt: s _a^b sqrt + bigh'rbig^ ddr _a^b sqrt + leftfracr^ - fracr^right^ ddrex _a^b sqrt + fracr^ - frac + fracr^ ddr _a^b sqrtfracr^ + frac + fracr^ ddr _a^b sqrtleftfracr^ + fracr^right^ ddr _a^b leftfracr^ + fracr^right ddr leftfracr^ - fracr^right_xa^xb oberQ - unterQ res abcliste