Exercise:
In der folgen Aufgabe geht es um den Luftdruck welcher bekannntlich mit zunehmer Höhe abnimmt. Die molare Masse der Atmosphärengase beträgt grampermol. abcliste abc Berechne den Luftdruck in einer isothermen Atmosphäre in Abhängigkeit von der Höhe aus der Tatsache dass seine Veränderung folge Gleichung erfüllt: * fracmboxdpmboxdh -fracpMgRT * Bestimme die Lösung dieser Gleichung mit der Anfangsbedingung pp_. abc Berechne den Luftdruck unter der Annahme dass die Temperatur der Atmosphäre mit zunehmer Höhe linear abnimmt also Th T_-ah-h_. abcliste

Solution:
abcliste abc Die Differentialgleichung kann mittels Separation gelöst werden: fracmboxdpmboxdh -fracpMgRT fracmboxdpp -fracMgRT mboxdh fracpmboxdp -fracMgRT mboxdh lnp -fracMgRT h + C ph texte^C texte^-fracMgRTh Dies ist die allgemeine Lösung für den Druck in Abhängigkeit von der Höhe über dem Erdboden ph. Die Lösung welche ausserdem erfüllt dass auf Meereshöhe h der Druck p_ beträgt was eine Randbedingung darstellt ist: ph p_ texte^-fracMgRTh abc Setzt man die angegebene Beziehung für die Temperatur ein so erhält man die etwas kompliziertere Differentialgleichung: fracmboxdpmboxdh -fracpMgRT -fracpMgR fracT_-ah-h_ fracmboxdpp fracMgR fracah-ah_-T_ mboxdh fracMgRa frach-fracT_+ah_a mboxdh lnp fracMgRa lnleft h-fracT_+ah_a right + C texte^lnp texte^fracMgRa lnleft h-fracT_+ah_a right + C texte^fracMgRa lnleft h-fracT_+ah_a right texte^C texte^ lnleft h-fracT_+ah_aright^fracMgRa texte^C ph left h-fracT_+ah_a right^fracMgRa texte^C Das ist die allgemeine Lösung für den Druck in Abhängigkeit der Höhe wenn sich ausserdem die Temperatur mit der Höhe verändert. Die Randbedingung bestimmt nun wieder die Konstante texte^C: p left -fracT_+ah_a right^fracMgRa texte^C left-fracT_+ah_a right^fracMgRa texte^C &mustbe p_ texte^C fracp_ left-fracT_+ah_a right^fracMgRa p_ left-fracT_+ah_a right^-fracMgRa Setzt man das nun oben ein so erhält man als Lösung: ph left h-fracT_+ah_a right^fracMgRa p_ left-fracT_+ah_a right^-fracMgRa p_ left h-fracT_+ah_a right^fracMgRaleft-fracT_+ah_a right^-fracMgRa p_ left-fracah-h_T_right^fracMgRa- abcliste