Exercise:
footnoteN. Rusca Determina la convergenza o la divergenza delle serie seguenti usando il criterio del quoziente o della radice. abcmulti abc _k^infty frac^kk! abc _k^infty frack^kk! abc _k^infty frac^kkk+ abc _k^infty fraclnk^k abc _k^infty frac^k-k^k abc _k^infty leftfrackk^+right^k abcmulti

Solution:
abclist abc _k^infty frac^kk!. Con il criterio del quoziente otteniamo fraca_k+a_kfrac frac^k+k+! frac^kk! frack!k+! frac^k+^kfrack+ oversetkto inftylongrightarrow implies textconverge! abc _k^infty frack^kk!. Con il criterio del quoziente otteniamo fraca_k+a_kfrac frack+^k+k+! frack^kk! frack!k+! frack+^k+k^kcancelfrack!k+! k+ leftfrack+kright^koversetkto inftylongrightarrow eimplies textdiverge! abc _k^infty frac^kkk+. Con il criterio del quoziente otteniamo fraca_k+a_kfrac frac^k+k+k+frac^kkk+ frackk+k+k+ frac^k+^kfrack^+kk^+k+oversetkto inftylongrightarrow dunque diverge. Lo stesso si può anche ottenere con il criterio della radice: sqrtk|a_k|sqrtkfrac^kkk+fracsqrtkkk+oversetkto inftylongrightarrow implies textdiverge!. abc _k^infty fraclnk^k. Direttamente con il criterio della radice otteniamo sqrtk|a_k|sqrtkfraclnk^kfraclnkoversetkto inftylongrightarrow implies textconverge! abc _k^infty frac^k-k^k. Con il criterio del quoziente otteniamo fraca_k+a_kfrac frac^kk+^k+frac^k-k^k underbrace frack+_to underbraceleftfrackk+right^k_to frace underbracefrac^k^k-_oversetkto inftylongrightarrow implies textconverge. Lo stesso si può anche ottenere con il criterio della radice: sqrtk|a_k|sqrtkfrac^k-k^kfracsqrtk^-koversetkto inftylongrightarrow . abc _k^infty leftfrackk^+right^k. Con il criterio della radice otteniamo: sqrtk|a_k|sqrtkleftfrackk^+right^kfrackk^+oversetkto inftylongrightarrow implies textconverge! Più difficilmente con il criterio del quoziente otteniamo: fraca_k+a_kfracleftfrack+k+^+right^k+leftfrackk^+right^kunderbraceleftfrack+k^+k k+^+right^k_to e underbracefrack+k+^+_to oversetkto inftylongrightarrow implies textconverge!. abclist