Exercise:
Das Cäsium-Isotop isotopeCs zerfällt zu .% mit Ta Halbwertszeit in das meta-stabile Barium-Isotop isotopemBa. Dieses wiederum geht mit einer Halbwertszeit von Tb in den stabilen Zustand über. Gib an wie viele meta-stabile Barium-Isotope nach t vorliegen falls man mit n reinem Cäsium- startet.

Solution:
Für die Anzahl Cäsium-Isotope N_ gilt zu einem beliebigen Zeitpunkt folge Differentialgleichung: fracdd N_ddt -lambda_ N_ Für die Anzahl Barium-Isotope N_ gilt zu einem beliebigen Zeitpunkt folge Differentialgleichung: fracdd N_ddt lambda_ N_ - lambda_ N_ Die Lösung der ersten Differentialgleichung ist: N_t N_ texte^-lambda_ t Eingesetzt bei der zweiten Gleichung erhalten wir: fracdd N_ddt lambda_ N_ texte^-lambda_ t - lambda_ N_ fracdd N_ddt + lambda_ N_ lambda_ N_ texte^-lambda_ t Das ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Ihre Lösung besteht aus der homogenen Lösung die analog zur Lösung der ersten Differentialgleichung ist und einer noch zu bestimmen partikulären Lösung: N_t N_ texte^-lambda_ t + N_pt bf Variante : Physiker-Hack Eine Methode diese partikuläre Lösung zu finden ist den partikulären Ansatz zu erraten N_t N_ texte^-lambda_ t + C texte^-kt und ihn dann einzusetzen: -lambda_ N_ texte^-lambda_ t -kC texte^-kt + lambda_N_ texte^-lambda_ t + lambda_C texte^-kt lambda_ N_ texte^-lambda_ t lambda_-kC texte^-kt lambda_ N_ texte^-lambda_ t Daraus folgt direkt: k lambda_ C fraclambda_lambda_-lambda_ Die Barium-Anzahl nach einer bestimmten Zeit beträgt also: N_t fraclambda_lambda_-lambda_ N_ lefttexte^-lambda_ t-texte^-lambda_ tright N_t NBa bf Variante : Mathematiker mit Formelbuch Die Differentialgleichung ist von folger Form: fracddyddt underbrace+ k_uxy underbracecm texte^-mt_vx Damit errechnet man: Ux kx Gx vx e^Uxddx cm texte^-mt e^kxddx mc texte^k-mxddx fracmck-m texte^k-mx Die Lösung ist dann: yx Gx+C texte^-Ux leftfracmck-m texte^k-mx +Cright texte^-kx fracmck-mtexte^-mx + C texte^-kx