Exercise:
Für Aufgabe a und b gilt die Differentialgleichung lambda y'' + y' + y ms. abcliste abc Bestimme die Lösung der oben stehen Differentialgleichung für lambdambsmbs- und mit den Anfangsbedingungen ymbsmbs und y'mbsmbs. abc Für welche Werte von lambda entsteht als Lösungsfunktion eine gedämpfte Schwingung? abc Bestimme diejenige Lösung der Differentialgleichung y' x+xy die bei xmbsmbs eine Nullstelle hat. abcliste

Solution:
abcliste vspacex abc -y''+y'+y hat als charakteristische Gleichung -r^+r+ mit den Lösungen r_ frac-pm -~textalso r_frac text~und~r_-frac Die allgemeine Lösung ist somit yxc_ e^fracx + c_ e^-fracx ~ y'xffracc_ e^fracx - ffrac c_ e^-fracx. Um die Anfangsbedingung zu erfüllen muss gelten left|arrayc c_+c_ ffracc_-ffracc_ arrayright|. Dieses hat die Lösungen c_ffrac und c_ffrac. Somit lautet die partikuläre Lösung yxffrace^fracx+ffrace^-fracx. abc Damit überhaupt eine Schwingung entsteht muss die Diskriminante der charakteristischen Gleichung negativ sein: ^-lambda -lambda Daraus folgt vspacex lambda sfrac. Ob die Schwingung dann gedämpft ist entscheidet der Realteil der Lösungen der charakterischen Gleichung vspacex sfrac-lambda. Für positive Werte von lambda ist dieser negativ und somit ist die Schwingung gedämpft. abc Man löst diese inhomogene lineare Differentialgleichung . Ordnung am einfachsten mittels Separation: vspacex dfracdxdyx+y hence dfracdy+yxdx &hencedfracdy+y xdx hencesfrac lnabs+ysfracx^ + C' &hencelnabs+yx^ + C hence hence +y e^x^+C & hence y sfracbigge^x^+C-bigg Mit der Anfangsbedingung y entsteht sfracbigge^+C-bigg hence C - vspacex Also gesuchte Funktion: y sfracbigge^x^--bigg sfracee^x^-dfrac abcliste