Exercise:
Eine Masse m bewege sich auf einer Kreisbahn in der xz-Ebene. Eine Masse m befinde sich in der Drehachse. Die Rolle dreht sich mit m ist aber sonst stationär. Die Distanz von m zur Rolle sei lpq.m. Gehe davon aus dass weder Rolle und Seil eine Masse besitzen noch dass eine Reibung auftritt. Wie gross ist die Rotationsperiode von m? Wie gross ist der Winkel theta? center tikzpicturescale. drawthick ---; filldrawcolorblack!!white fillblack!!white -.-. rectangle +.; nodecolorwhite at -. m; filldrawcolorblack fillblack!!white . circle .cm; draw ..--.-.; pgftransformrotate pgftransformxshift.cm pgftransformyshift-.cm filldrawcolorblack!!white fillblack!!white rectangle +; nodecolorwhite at .. m; tikzpicture center

Solution:
Gefragt sind omega bzw. T sowie der Winkel theta. Die Aufgabe wird auf ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten führen. enumerate item Die Masse m kompensiert mit ihrer Gewichtskraft zwei Dinge: Die Zugkraft im Seil aufgrund der Gravitation der Masse m sowie die Zugkraft im Seil welche nötig ist um die Masse m auf ihrer Kreisbahn zu halten Anteil der Zentripetalkraft. m mg costheta + mromega^sheta m mg costheta + mlshetaomega^sheta g costheta + lomega^sin^theta item Ebenso muss gelten dass die zum Seil an der Masse m rechtwinklig stehen Komponenten sowohl der Zentripetalkraft als auch der Gravitationskraft auf die Masse m gleich gross sind: mgsheta mromega^costheta mgsheta mlshetaomega^costheta g lomega^costheta enumerate Die beiden Gleichungen bilden folges nichtlineares Gleichungssystem mit den beiden Unbekannten theta und omega: g gcos theta + lomega^ sin^theta g lomega^costheta Löst man die zweite Gleichung nach costheta auf und setzt bei der ersten ein unter Beachtung dass -cos^sin^ so erhält man: g gfracglomega^ + lomega^ left-fracg^l^omega^right omega sqrtfracgl pq.radps Die Umlaufzeit ist somit Tfracpiomegapq.sapproxpqs der Winkel theta beträgt: theta arccosleftfracglomega^right pq.rad grad