Exercise:
Zwei zylindrische Luftkissenfahrzeuge Radius r Masse M werden auf einer Glasunterlage durch je zwei gleiche Massen m beschleunigt. Bei dem einen Zylinder ist die Schnur an der Zylinderachse befestigt beim anderen ist ein Teil der Schnur auf dem Mantel lose aufgewickelt. Man vergleiche die Geschwindigkeiten der beiden Zylinder nachdem die beschleunigen Massen m die Höhe h zurückgelegt haben.

Solution:
Wir untersuchen die beiden Fälle einzeln: itemize item- bf Schnur an der Zylinderachse befestigt: . Lösung über den Energiesatz: frac M+mv^ mgh v sqrtfracmM+mgh . Lösung über Dynamik: Man berechnet zuerst die Beschleunigung der Anordnung: M+ma mg a fracmM+mg Dann wie lange mit der Beschleunigung für die Höhe h gebraucht wird: h fracat^ t sqrtfracha Und schliesslich die Geschwindigkeit: v at a sqrtfracha sqrtha tcboxmathcolbackblue!!whitecolframebluesqrtfracmM+m gh item- bf Schnur lose auf dem Zylinder aufgewickelt: Der Zylinder und die beschleunige Masse erfahren unterschiedliche Beschleunigungen wir nennen sie a_M und a_m. Die Bewegungsgleichung Kraftwirkungsgesetz für die beiden Massen lautet dann: ma_m F mg - FZ Ma_M F FZ Daraus erhält man durch Elimination der Zugkraft in der Schnur: M a_M mg-a_m Die beiden Beschleunigungen sind ausserdem miteinander über die Winkelbeschleunigung der Drehbewegung welche der Zylinder machen wird verknüpft: a_m a_M + alpha r quad textbzw. alpha r a_m-a_M Der Drallsatz liefert dann: M Jalpha r F fracMr^ alpha r mg-a_m fracMr^ fraca_m-a_Mr mg-a_m fracM a_m-a_M fracM a_m - fracMa_M fracM a_m - fracmg-a_m frac mg-a_m fracM a_m a_m fracmM+m g Damit finden wir für die Zeit welche die Masse m braucht um die Höhe h zu durchfallen: h fraca_mt^ t sqrtfracha_m sqrtfrachM+mmg Um die Geschwindigkeit des Zylinders nach dieser Zeit zu berechnen braucht man die Beschleunigung des Zylinders: a_M fracmM g-a_m fracmM leftg- fracmM+m gright fracmM g left- fracmM+m right fracmM fracM+m-mM+m g fracmM fracMM+mg fracmM+mg Die Geschwindigkeit des Zylinders ist somit: v' a_M t fracmM+mg sqrtfrachM+mmg tcboxmathcolbackblue!!whitecolframebluesqrtfracmM+mgh v itemize