Exercise:
Die folgen Teilaufgaben zur Dimensionsanalyse sind vollkommen unabhängig voneinander. Dokumentieren Sie Ihre Resultate so ausführlich wie nötig und so knapp wie möglich. enumerate item Die elektrische Kraft zwischen zwei Elektronen wird durch das Coulomb Gesetz beschrieben. Sie kann ausgedrückt werden durch den Abstand r zwischen den zwei Elektronen die Ladung des Elektrons q_e und die elektrische Feldkonstante epsilon_. Leiten Sie mit Hilfe einer Dimensionsanalyse das Coulomb Gesetz für zwei Elektronen als Funktion von r q_e und epsilon_ bis auf eine dimensionslose Konstante C her. Arbeiten Sie hierzu mit -Einheiten. ~Pktemm Hinweis: Die Einheit der elektrischen Feldkonstante ist: epsilon_ fracA^s^kgm^. item Die maximale Knicklast eine Kraft eines dünnen Stabes ist gegeben durch F_k fracpi^EIbeta l^ wobei l die Länge des Stabes bezeichnet E den Elastizitätsmodul und I das axiale Flächenträgheitsmoment I m^; beta ist eine dimensionslose Grösse welche die Randbedingungen abbildet. Bestimmen Sie die Einheit des Elastizitätsmoduls. ~Pkte item Die Menschheit hat Kontakt mit Ausserirdischen hergestellt. Der erste Austausch über physikalische Sachverhalte gestaltet sich aber schwierig da die Ausserirdischen andere Basiseinheiten benutzen. Wir konnten bisher folges lernen: itemize item Die Dichte hat die Dimension: Gamma item Die Lichtgeschwindigkeit hat die Dimension: Delta item Die Gravitationskonstante hat die Dimension: Delta^Theta^- itemize Bestimmen Sie die korrekte Dimension von Länge in diesem System. ~Pkte enumerate

Solution:
enumerate item Die Kraft hängt von r q_e epsilon_ und einer Konstante C ab d.h. F_C C epsilon_^alpha q_e^beta r^gamma. qquad text~Pkt Die Gleichung der Dimensionen ergibt: kgfracms^ leftfracA^s^kgm^right^alpha leftAsright^beta m^gamma. qquad text~Pkt Daraus folgt das folge Gleichungssystem: * kg&: & -alpha & m&: & -alpha + gamma s&: & - alpha + beta A&: & alpha + beta * Daraus ergibt sich: alpha - beta und gamma - ~Pkte. Einsetzen von alpha beta und gamma ergibt: F_C C fracq_e^epsilon_r^.qquad text~Pkt item Die Gleichung für die Knicklast wird auf beiden Seiten in eine Dimensionsgleichung umgewandelt d.h. leftF_kright leftfracpi^EIbeta l^right fracleftpi^rightEIbeta l^ fracEm^m^ Em^. qquad text~Pkt Damit ist die Einheit des Elastizitätsmodul E F_k/m^. Mit F_k kgfracms^ erhalten wir: E frackgfracms^m^ frackgms^. qquad text~Pkt item Mit dem was bereits gegeben ist erhält man folge Zusammenhänge: textDichte: frackgm^ entsp Gamma qquad textGeschwindigkeit: fracms entsp Delta qquad textGrav.konstante: fracm^kgs^ entsp Delta^Theta^-.qquad text~Pkt Da wir am Schluss eine Länge brauchen müssen wir sowohl kg als auch s eliminieren. Durch Multiplikation der Dichte und der Gravitationskonstante eliminieren wir kg und durch Multiplikation der inversen Geschwindigkeit im Quadrat eliminieren wir s d.h. Gamma Delta^Theta^- Delta^- frackgm^ fracm^kgs^ fracs^m^ m^-. qquad text~Pkt Daraus erhalten wir für die Dimension der Länge in diesem System: textLänge: mentspleftGamma Delta^Theta^- Delta^-right^-/ Gamma^-/Delta^-Theta^/. qquad text~Pkt enumerate