Exercise:
Im Jahre führte Max Planck die sogenannten natürlichen Masseinheiten ein: itemize item die Planck Masse m_P item die Planck Länge l_P item die Planck Zeit t_P und item die Planck Temperatur T_P. itemize Die Masseinheiten sind definiert als Funktionen von vier universellen Konstanten d.h. durch die itemize item Newton'sche Gravitationskonstante G item die Vakuumlichtgeschwindigkeit c item die reduzierte Planck'sche Konstante hbar und item die Boltzmannkonstante k_B. itemize enumerate item Mit Hilfe einer Dimensionsanalyse sollen nun die natürlichen Masseinheiten durch die universellen Konstanten ausgedrückt werden. Drücken Sie enumerate item die Planck Masse m_P ~Pkte item die Planck Länge l_P und ~Pkt item die Planck Zeit t_P ~Pkt enumerate als Funktion der drei Konstanten G hbar und c aus. item Wie lautet die Beziehung zwischen l_P und t_P? ~Pkt item Drücken Sie die Planck Temperatur T_P als Funktion der vier Konstanten G hbar c und k_B aus? ~Pkte enumerate bf Bemerkung: Vollständige Herleitung ist erwünscht d.h. Gleichungssystem muss klar ersichtlich sein.

Solution:
Die Einheiten sind: itemize item Newton'sche Gravitationskonstante G kg^-m^s^- item die Vakuumlichtgeschwindigkeit c ms^- item die reduzierte Planck'sche Konstante hbar kgm^s^- und item die Boltzmannkonstante k_B kgm^s^-K^-. itemize enumerate item Zunächst betrachten wir die Planck-Masse: enumerate item Gemäss der Voraussetzung gilt: m_P G^alphahbar^beta c^gamma. qquad tfrac~textP. Nach einsetzen der Einheiten erhalten wir: eqnarray* kg & leftkg^-m^s^-right^alphaleftkgm^s^-right^beta leftms^-right^gamma qquad tfrac~textP. & kg^-alpha+betam^alpha+beta+gammas^-alpha-beta-gamma.qquad tfrac~textP. eqnarray* Daraus erhalten wir das folge lineare Gleichungssystem: eqnarray* -alpha + beta & alpha + beta + gamma& -alpha - beta -gamma & . qquad text~P. eqnarray* Die Lösung des Gleichungssystems liefer alpha -/ beta / und gamma / ~P. also m_P sqrtfrachbar cG.qquad tfrac~textP. item Für die Planck Länge l_P sind die erste und die dritte Gleichung gleich Null und die zweite gleich Eins. Die Lösung liefer alpha / beta / und gamma -/ tfrac~P. also l_P sqrtfracGhbarc^.qquad tfrac~textP. item Im Fall der Planck Zeit t_P sind die ersten beiden Gleichung gleich Null und die dritte gleich Eins was auf alpha / beta / und gamma -/ tfrac~P. also t_P sqrtfracGhbarc^.qquad tfrac~textP. enumerate item Die Beziehung zwischen l_P und t_P erhält man direkt in dem man das Verhältnis betrachtet: l_P/t_p c myRarrow l_p c t_p.qquad text~P. item Wie oben kann man auch hier schreiben: T_P G^alphahbar^beta c^gamma k_B^delta also eqnarray* K & leftkg^-m^s^-right^alphaleftkgm^s^-right^beta leftms^-right^gamma leftkgm^s^-K^-right^delta qquad tfrac~textP. & kg^-alpha+beta+deltam^alpha+beta+gamma+deltas^-alpha-beta-gamma-deltaK^-delta.qquad tfrac~textP. eqnarray* Das Gleichungssystem lautet: eqnarray* -alpha + beta +delta & alpha + beta + gamma + delta & -alpha - beta -gamma -delta & -delta & . qquad text~P. eqnarray* Die Lösung des Gleichungssystems liefer alpha -/ beta / gamma / und delta - tfrac~P. also T_P k_B^-sqrtfrachbar c^G.qquad tfrac~textP. enumerate