Exercise:
In dieser Aufgabe geht es um ein beliebtes Gedankenexperiment zur Gravitationskraft. Dabei wird ein Loch durch die Erde gebohrt so dass eine Kugel der Masse m reibungsfrei hindurchfallen kann. Das Loch soll vorerst durch den Erdmittelpunkt gehen vgl. Abb.. center tikzpicturescale. % Bild der Erde node at includegraphicswidth.cm#image_path:m-png-#; % Tunnel draw -.-. rectangle ..; draw top colorredbottom coloryellowdrawnone -.-. rectangle .; draw top coloryellowbottom colorreddrawnone -. rectangle ..; draw fillyellow -. ellipse . and .; draw fillyellow . ellipse . and .; % Koordinatensystem draw - -. -- . node above y; draw -. -- . node right fns ; % Masse shadedraw shadingball . circle .; tikzpicture center enumerate item Zeigen Sie dass die Gravitationskraft F_Gy im Innern der Erde folge Form hat: F_Gy GfracmMR^ y wobei G apx .^-Nfracm^kg^ die Gravitationskonstante M apx . ^kg die Erdmasse und R~apx~. ^m der Erdradius sind. Tipp: Die Dichte der Erde kann als konstant angenommen werden. ~Pkte item Zeigen Sie dass eine Masse m welche man durch das Loch fallen lässt eine harmonische Schwingung vollzieht und bestimmen Sie die Kreisfrequenz omega_ dieser Schwingung. .~Pkte item Bestimmen Sie die Zeit welche die Masse braucht um durch die Erde zu fallen. .~Pkte item Wie lautet die explizite Vorschrift für diese Schwingung sofern die Masse ohne Anfangsgeschwindigkeit vom Nordpol aus losgelassen wird. ~Pkt item In welcher Tiefe unter der Erdoberfläche befindet sich die Masse nach min und nach min? ~Pkte item Zeigen Sie dass die Periode T für jegliche Bohrung gleich ist sofern sie geradlinig verläuft. Nehmen Sie dazu z.B. folge Bohrung in der Abbildung unten an. ~Pkte center tikzpicturescale. % Erde draw thick circle cm; draw thick- -- node right vec R-; % Tunnel draw very thick -.. -- ..; draw very thick -.. -- ..; % Koordinatensystem draw thick- -.. node left x -- .. ; draw thick .-. -- .+. node above fns ; % Masse draw fillblue -.. circle .cm; % Abstand zum Erdmittelpunkt draw thick- -- node belowxshift-.cm vec r -..; % Winkel draw dashed . -- ; draw thick . arc :+:.; node at -.. varphi; tikzpicture center enumerate

Solution:
enumerate item Die Gravitationskraft F_Gy ist - durch Beachtung des Tipps - durch F_Gy GfracmM'y^ qquad text. Pkte gegeben wobei M' die reduzierte Masse unterhalb der Kugel und y der momentane Abstand der Kugel sind. Die reduzierte Masse entspricht: M' rho V' rho fracpiy^qquad text. Pkte mit rho der Dichte der Erde und V' das reduzierte Volumen. Setzen wir diesen zweiten Term in den ersten ein dann erhalten wir: F_Gy Gfracmrhofracpiy^y^ Gmrhofracpiy.qquad text. Pkte Nun erweitern wir diesen Term mit R^ um die Erdmasse zu erhalten: F_Gy GfracmrhofracpiR^R^y GfracmMR^y qquad text. Pkte wobei M rhofracpiR^ ist. item Um zu zeigen dass es sich um eine harmonische Schwingung handelt muss die Bewegungsgleichung für die Kugel die Form: ddoty -omega_^ yqquad text. Pkte haben wobei omega_ konstant sein muss und der Winkelgeschwindigkeit entspricht. Die Bewegungsgleichung für die Kugel der Masse m lautet: F_res mddoty myRarrow -F_Gy mddoty. Daraus erhalten wir direkt: - GfracmMR^y mddoty myRarrow - GfracMR^y ddotyqquad text. Pkte wobei omega_^ GfracMR^ ist. Damit ist die Winkelgeschwindigkeit: omega_ sqrtGfracMR^ apx .^-fracs.qquad text. Pkte Beachten Sie dass man bei der Differentialgleichung nicht einfach nur die Beträge betrachten kann. Da y nach oben gemessen wird und die Kraft jedoch nach unten zeigt braucht es an dieser Stelle ein Minus. item Die Zeit um durch die Erde zu fallen entspricht der halben Periode. Damit erhalten wir: fracT fracpiomega_ fracpiomega_ apx .min qquad text. Pkte item Der allgemeine Ansatz für eine harmonische Schwingung lautet: yt hatycosomega_t + varphi_.qquad text. Pkte Mit den Anfangsbedingungen yt R und dotyt erhalten wir: eqnarray* dotyt haty sin varphi_ &myRarrow& varphi_ qquad text. Pktemm yt R haty cos varphi_ haty &myRarrow& haty R qquad text. Pkte eqnarray* Damit erhalten wir: yt Rcosomega_t.qquad text. Pkte item Die Tiefe erhält man direkt mit der soeben hergeleiteten Schwingungsfunktion. Es gilt: eqnarray* R-yt_s & Rbig-cosomega_t_big apx km qquad text. Pktemm R-yt_s & Rbig-cosomega_t_big apx km. qquad text. Pkte eqnarray* item Die Skizze ist im Grunde schon die halbe Arbeit zur Lösung dieses Problem. Die Kraft auf die Kugel zeigt in Richtung vec r und muss daher aufgeteilt werden vgl. Abb.. center tikzpicturescale % Erde draw thick circle cm; draw thick- -- node right vec R-; % Tunnel draw very thick -.. -- ..; draw very thick -.. -- ..; % Koordinatensystem draw thick- -.. node left x -- .. ; draw thick .-. -- .+. node aboveyshiftmm fns ; % Masse draw fillblue -.. circle .cm; % Abstand zum Erdmittelpunkt draw - -- node belowyshift-.cmxshift.cm vec r -..; % Winkel draw dashed . -- ; draw thick . arc :+:.; node at -.. varphi; % Kraft draw very thick red- -.. -- ++ .*+.-.*. node leftxshift-.cmyshift.cm fns vec F_Gy; draw thick red- -.. -- ++ .*+. node abovexshift-.cmyshift.cm fnsvec F_G_xy; draw thick red- -.+.*+.. -- ++ -.*. node rightxshift.cmyshift.cm fnsvec F_G_yy; tikzpicture center Für die Beschleunigung auf die Kugel ist nur die x-Komponente der Kraft relevant daher erhalten wir: F_resx mddotx myRarrow -F_G_xy mddotx myRarrow -GfracmMR^rsinvarphi mddotx.qquad text~Pkt Durch Betrachtung der Skizze erkennt man dass der sinvarphi gegeben ist durch: sinvarphi fracxr.qquad text~Pkt Durch ersetzen des Sinus' erhält man schliesslich: -GfracmMR^rfracxr -GfracmMR^x mddotxmyRarrow -GfracMR^x ddotxqquad text~Pkt was die gleiche Differentialgleichung wie oben ist und damit die gleiche Winkelgeschwindigkeit hat. enumerate