Exercise:
abclist abc Im Norden Spaniens werde mitten durch die Erde ein Loch bzw. ein Tunnel zum antipodischen gegenüberliegen Punkt gegraben. Zeige dass eine im Tunnel fallen gelassene Liftkabine harmonisch schwingt indem du die Kreisfrequenz der Schwingung bestimmst. abc In New York werde mitten durch die Erde ein Hi-Tech-Tunnel zum antipodischen in Australien liegen Punkt gegraben. Wie lange dauert es bis eine antriebslose in New York starte Kapsel in Australien angelangt? abc Von der Arktis werde zur Antarktis ein Tunnel erstellt. Wie lange würde es dauern bis man -- spränge man einfach in den Tunnel -- auf derselben Höhe über der Äquatorialebene angekommen wäre wie sich die Schweiz befindet? abclist center tikzpicture filldrawcolorblue fillblue!!white circle cm; filldrawcolorred fillred!!white circle cm; filldrawcolorblack fillwhite opacity. -.- rectangle .; filldrawcolorblack fillyellow circle .cm tikzpicture center

Solution:
abclist abc Die Ruhelage in so einem durch die Erde gehen Tunnel entspricht dem Mittelpunkt der Erde; lenkt man von dort eine Masse in Richtung Oberfläche aus so wird sich diese aufgrund der Gravitationskraft zurück zur Ruhelage -- dem Mittelpunkt -- bewegen. Es ist nun wichtig zu wissen dass dabei nur die Masse innerhalb einer Kugel deren Radius durch die Position des schwingen Körpers definiert wird eine resultiere Kraft auf diesen Körper ausübt. Die blaue Kugelschale übt auf den gelben schwingen Körper keine resultiere Gravitationskraft aus. Alle Kräftevektoren der verschiedenen glqq blauengrqq Massenteile addieren sich zu null. Nur die rote Kugel übt eine zur Ruhelage rücktreibe Kraft auf den gelben Körper aus. Um diese zu berechnen muss die Masse M' der roten Kugel mit Radius y bekannt sein; diese hängt von der Position y des gelben Körpers ab: sscFres -G fracM'my^ -G fracrho V' my^ -G fracrho fracpi y^ my^ -G rho fracpi y m. In dieser Gleichung ist nun die Dichte der Erde noch unbekannt; sie kann aber durch die Masse M der gesamten Erde sowie ihr durch ihren Radius R definiertes Kugelvolumen ausgedrückt werden: rho fracMV fracMfrac pi R^ fracM pi R^. Eingesetzt oben folgt für die rücktreibe Kraft: sscFres -G rho fracpi y m -G fracM pi R^ fracpi y m -G fracMmR^ y. Mit dem Aktionsprinzip folgt nun al m at -G fracMmR^ yt at -underbracefracGMR^_omega^ yt. Damit ist gezeigt dass die Liftkabine harmonisch schwingt mit der Kreisfrequenz al omega sqrtfracGMR^. abc Die Zeit die man braucht um glqq auf der anderen Seitegrqq anzukommen also zum Antipodenpunkt zu gelangen ist die Hälfte der Schwingungsdauer: newqtyRem newqtyM.ekg solqtytpi sqrtfracR^GMpi*sqrtRn**/ncGn*Mns t fracT fracpiomega tf pi sqrtfracR^GM t. abc Der Mittelpunkt der Schweiz befindet sich bei ang. ang.. Das heisst die Schweiz befindet sich etwa um eine Höhe newqtyT.degree solqtyyRsinthetaRn*sindTnm y yf RsinT y über der Äquatorialebene. Bei dieser Höhe ist man zum Zeitpunkt solqtytsqrtfracR^GMarccossinthetasqrtRn**/ncGn*Mn*acossindTns t fracomega arccosfracyhat y tf sqrtfracqtyR^ncGM arccossinT t angelangt. abclist