Exercise:
Eine Kugel Masse m Radius R wird in ein Gefäss Höhe h mit einer zähen Flüssigkeit Viskosität eta fallen gelassen und sinkt dort zu Boden. Durch die Flüssigkeit erfährt sie zusätzlich zur Schwerkraft mg eine Reibungskraft -gamma v wobei gamma der Reibungskoeffizient der Flüssigkeit ist und v die Sinkgeschwindigkeit der Kugel. Ihre Anfangsgeschwindigkeit direkt an der Flüssigkeitsoberfläche x beträgt v_. abcliste abc Stelle die Bewegungsgleichung für die Kugel auf und bestimme die Gschwin-dig-keits-funk-tion vt! Angenommen das Gefäss hätte keinen Boden was wäre dann die Geschwindigkeit v_infty nach unlicher Fallzeit? abc Bestimme die Ortsfunktion xt der Kugel! Angenommen die Flüssigkeit ist sehr zäh d.h. gammarightarrowinfty was ist die Fallzeit tau der Kugel bis zum Boden xh? abc Bei der Durchführung des Experiments wird eine pqg schwere Kugel mit einem Radius von pqcm sowie ein pqcm hohes Gefäss verwet. Wenn die Kugel direkt von der Oberfläche aus fallen gelassen wird d.h. v_ misst man eine Fallzeit von taupqmin. Bestimme aus diesen Angaben gamma und hieraus über das Gesetz der Stokes'schen Reibung gammapieta R die Viskosität eta der Flüssigkeit! abcliste

Solution:
abcliste abc Die Bewegungsgleichung lautet: ma _i F_i FG + F_textscriptsize R mdot v mg - gamma v Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung findet man wie folgt: mfracmboxdvmboxdt mg -gamma v fracmboxdvg-fracgammamv mboxdt -fracmgammalng-fracgammamv t+hat c lng-fracgammamv -fracgammamt+hat c g-fracgammamv c texte^-fracgammamt +fracgammamv g-c texte^-fracgammamt Aboxed vt fracmgamma leftg-c texte^-fracgammamtright Mit der Anfangsbedingung vtv_ findet man hat cg womit die Gschwin-dig-keits-funk-tion bzw. partikuläre Lösung wie folgt aussieht: Aboxed vt fracmggamma left-texte^-fracgammamtright abc Die Ortsfunktion der Kugel ist: xt vt mboxdt fracmggamma left-texte^-fracgammamtright mboxdt fracmggamma leftt+fracmgammatexte^-fracgammamtright+C Mit der Anfangsbedingung xtx_ wird die Integrationskonstante C-fracm^ggamma^ und die Ortsfunktion zu: xt fracmggamma leftt+fracmgammatexte^-fracgammamtright - fracm^ggamma^ Für eine sehr zähe Flüssigkeit also für gammarightarrowinfty verschwindet jeder Term in diesem Ausdruck; daher ist für eine sehr zähe Flüssigkeit xtrightarrowinfty. Das Teilchen bleibt also einleuchterweise an Ort und Stelle. abcliste