Exercise:
Eine Zylinderboje der Höhe h mit Dichte sscrhoB ruht im Wasser. Sie werde hat y ins Wasser Dichte sscrhoW gedrückt. abclist abc Zeige dass diese Zylinderboje bei Vernachlässigung der Dämpfung harmonisch mit der Kreisfrequenz al omega_ sqrtfracsscrhoW gsscrhoB h schwingt. hfill Hinweis: Es ist textbfkeine detaillierte Lösung der DGL verlangt sondern lediglich ein Reduzieren der Bewegungsgleichung in die Form at -omega_^ yt. abc Wie hoch ist eine solche Zylinderboje aus Kork die unter Vernachlässigung der Dämpfung mit fo schwingt? hfill abclist In der Realität stellt man fest dass bereits nach t die Amplitude bloss noch eto der anfänglichen Amplitude beträgt. abclist setcounterabc setcounterenumii abc Berechne die Abklingkonstante. hfill abc Wie gross ist die Schwingungsdauer des gedämpften Systems? hfill abc Skizziere im folgen Diagramm die Auslenkung des gedämpften Systems in Abhängigkeit der Zeit für eine Anfangsamplitude von mm. hfill abc Wie gross müsste die Abklingkonstante sein damit das System nach der Auslenkung in kürzest möglicher Zeit wieder in Ruhelage ist ohne Rechnung? Wie heisst dieser Fall? hfill abclist center tikzpicture tkzInitxmin xmax ymin- ymax tkzGridsub subystep. subxstep. tkzDrawXright labelt/sis tkzDrawYabove labely/simm tkzTextbelowsmall. tkzTextbelowsmall. tkzTextleftsmall tkzTextleft-small- tkzTextleftsmall tkzTextleft-small- tkzTextleftsmall tkzTextleft-small- tkzTextleftsmall tkzTextleft-small- tkzTextleftsmall tikzpicture center

Solution:
abclist abc Auf die Boje wirken die Gewichtskraft und die von der momentanen Auslenkung abhängige Auftriebskraft: al sscFres sscFG - sscFA m g - sscrhoW g A y_ + yt - sscrhoW g A yt. Die Fläche der Boje kann umgeschrieben werden zu al A fracVh fracmsscrhoB h. Mit dem Aktionsprinzip folgt al m at -sscrhoW g fracmsscrhoB h yt at -underbracefracsscrhoW gsscrhoB h_omega^ yt. abc al h hf fracRW ncgRB qtyfC^ h approx hT abc al eta e^-delta t delta Df -fract lnet D approx DTT abc al T Tf fracpisqrtqtyfC^-qtyD^ T approx TII abc phantom. center tikzpicture tkzInitxmin xmax ymin- ymax tkzGridsub subystep. subxstep. tkzDrawXright labelt/sis tkzDrawYabove labely/simm tkzTextbelowsmall. tkzTextbelowsmall. tkzTextleftsmall tkzTextleft-small- tkzTextleftsmall tkzTextleft-small- tkzTextleftsmall tkzTextleft-small- tkzTextleftsmall tkzTextleft-small- tkzTextleftsmall tkzFctvery thick darkgreen domain:*exp-.*x tkzDefPoByFct tkzTextabove right darkgreentkzPoResultsmallhat y_ e^-delta t tkzTextleft darkred.-.smallhat y_ e^-delta t cosomega t tkzFctvery thick darkgreen-*exp-.*x tkzDefPoByFct tkzTextbelow right darkgreentkzPoResultsmall-hat y_ e^-delta t tkzFctvery thick darkred domain:*exp-.*x*cosdeg.*x tikzpicture center abc Die Dämpfungskonstante müsste gleich gross wie die Kreisfrequenz des ungedämpften Systems sein d.h. delta omega_. Dieser Fall heisst aperiodischer Grenzfall. abclist