Exercise:
Gegeben ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt M welcher durch den Ursprung verläuft. Durch dessen Mittelpunkt den Ursprung und auch den Punkt P verläuft eine Gerade m. Ausserdem ist eine Parabel gegeben welche auch durch den Ursprung und den Punkt P geht und am Punkt P eine gemeinsame Tangente mit dem Kreis besitzt. Die Fläche zwischen der Kugel und der Parabel hier blau markiert soll bestimmt werden. center tikzpicturescaletikscale latex fillblue! Mx My circle radius; fill red! variablex -. My - radius + . -- plotsmoothdomain-.:-b/a+. x a * x * x + b * x -- -b/a+. My - radius + . -- cycle; fill BoxBackground variablex -. My - radius -- plotsmoothdomain-.:-b/a+. x minPy/Px * x My + radius * . -- -b/a+. My - radius -- cycle; fill BoxBackground Px Py -- Mx + radius Py -- Mx + radius My - radius -- My - radius -- -- cycle; drawblack line width .mm plotsmoothdomain-.:-b/a+. x a * x * x + b * x nodebelowp; drawblack Mx My circle radius; draw- thick colorgreen!!black Mx - radius -- -b/a+ noderightx; draw- thick colorgreen!!black My - radius -- maxy nodeabovey; fillblack Px Py circle ./tikscale; fillblack Mx My circle ./tikscale; nodebelow right-pt of MxMy outer seppt MMx My; noderightpt of PxPy outer seppt P; fillblack circle ./tikscale; drawblack - Px * . - Py * . -- Px * . Py * . noderightm; drawblack Px Py -- ++My / radius * abssmaller * . -Mx / radius * abssmaller * . noderightt; drawblack Px Py -- ++-My / radius * abssmaller * . Mx / radius * abssmaller * .; tikzpicture center

Solution:
bf Lösungsidee Der Punkt P ist das Doppelte des Punkts M und beträgt somit MpgfmathprnumberPx pgfmathprnumberPy. Solange die Parabel zwischen dem Ursprung und dem Punkt P innerhalb des Kreises verläuft ist die blaue Fläche die Fläche des oberen Halbkreises minus der roten Fläche. Die rote Fläche ist die Fläche unter der Parabel von x bis x P_x minus der Fläche unter der Geraden m von x bis x P_x. newcommandnewcircput..ovalphantomcirc newcommandcleftsemicircput..ovallput..linephantomcirc pgfmathsetmacroAreaMx * Mx + My * Mx * PI pgfmathsetmacroAreaNoPiMx * Mx + My * Mx pgfmathsetmacroAreaHalfMx * Mx + My * Mx * PI / pgfmathsetmacroAreaHalfNoPiMx * Mx + My * Mx / bf . Schritt: Gesamtfläche der Halbkugel Da der Kreis durch den Ursprung geht ist dessen Radius der Abstand des Mittelpunkts zum Ursprung. Daraus lässt sich dann auch dessen Fläche und diejenige des Halbkreises berechnen. r^ M_x^ + M_y^ A_newcirc r^pi piM_x^ + M_y^ pgfmathprnumberAreaNoPipi approx Area A_cleftsemicirc fracA_newcirc fracpiM_x^ + M_y^ pgfmathprnumberAreaHalfNoPipi approx AreaHalf pgfmathsetmacroPydivPxPy / Px pgfmathsetmacrominusPxdivPy-Px / Py newcommandopentriangle% raisebox.ptmakebox.em% setlengthunitlength.em% linethickness.pt% picture polygon picture% % renewcommandqedsymbolopentriangle pgfmathsetmacroPyPxPy * Px pgfmathsetmacroUnderLinePy * Px * . bf . Schritt: Fläche unter Geraden Die Fläche unter der Geraden m ist die Hälfte der Fläche des Rechtecks mit einer Ecke am Ursprung und der anderen Ecke am Punkt P. A_scriptscriptstyleopenbox P_xP_y pgfmathprnumberPyPx A_scriptscriptstyleopentriangle fracP_xP_y pgfmathprnumberUnderLine bf . Schritt: Fläche unter Parabel Eine Parabel ist durch drei Koeffizienten a b c definiert die herausgefunden werden müssen um sie egrieren zu können. center y ax^ + bx + c center Da die Parabel durch den Punkt geht muss der Koeffizient c sein: center a + b + c c center Die Tatsache dass die Parabel durch den Punkt P verläuft liefert die erste Gleichung welche a und b enthält: center pgfmathsetmacroPxSqPx * Px P_y P_x^ a + P_xb pgfmathprnumberPy pgfmathprnumberPxSqa + pgfmathprnumberPxb center Die Gerade m hat eine Steigung von fracP_yP_x fracpgfmathprnumberPypgfmathprnumberPx pgfmathprnumberPydivPx. Da die Tangente t einen rechten Winkel zu m aufweist ist deren Steigung -fracP_xP_y -fracpgfmathprnumberPxpgfmathprnumberPy pgfmathprnumberminusPxdivPy. Die erste Ableitung der Parabel muss also an der Stelle P_x pgfmathprnumberPx einen Wert von -fracP_xP_y pgfmathprnumberminusPxdivPy haben. Dies liefert die zweite Gleichung mit a und b: center -fracP_xP_y P_x a + b pgfmathprnumberminusPxdivPy pgfmathprnumberPx a + b center Nimmt man jetzt die beiden Gleichungen zusammen und löst das Gleichungssystem nach a und b auf bekommt man deren Werte: center a -fracP_yP_x^ - fracP_y pgfmathprnumbera b fracP_yP_x + fracP_xP_y pgfmathprnumberb center Jetzt muss nur noch die Parabel zwischen und P_x egriert werden: A_p _^P_x ax^ + bx dx fracaP_x^ + fracbP_x^ fracpgfmathprnumberapgfmathprnumberPx^ + fracpgfmathprnumberbpgfmathprnumberPx^ &approx areaparab pgfmathsetmacrosolAreaHalf - areaparab - UnderLine A A_cleftsemicirc - A_p - A_scriptscriptstyleopentriangle fracpiM_x^ + M_y^ - fracaP_x^ + fracbP_x^ - fracP_xP_y &approx sol