Im See schwingende Boje
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Exercise:
Eine zylindrische Boje schwinge im See auf und ab. Weise nach dass diese Boje harmonisch schwingt.
Solution:
Es handelt sich um eine harmonische Schwingung falls die rücktreibe Kraft proportional zur Elongation ist also falls formal F -Ky ist. Eine zylindrische Boje mit Dichte rho Querschnittsfläche A und Höhe h liegt um folge Tiefe im Wasser: sscFA sscFG rho' V' g rho V g rho' Ax rho Ah x fracrhorho'h Diese Tiefe definiert die Ruhelage der Boje. Drückt man so eine zylindrische Boje nun ein wenig mehr -- sagen wir um y -- ins Wasser so erfährt sie mehr Auftrieb als nötig ist um ihre Gewichtskraft zu kompensieren; dieser zusätzliche Auftrieb ist gerade die Kraft welche die Boje zurück zu ihrer Ruhelage zwingt: F - rho' Ay g - rho' g A y Schon an dieser Gleichung sieht man an dass die rücktreibe Kraft proportional zur Elongation ist; manchmal will man diese Kraft aber durch die Tiefe mit der die Boje im Wasser liegt ausdrücken: - rho frachx g A y - fracrho Ahgx y - fracmgx y Die gleiche Überlegung gilt falls man die Boje statt ins Wasser zu drücken etwas aus dem Wasser anhebt und fallen lässt. In diesem Fall erfährt die Boje etwas zu wenig Auftrieb um ihre Gewichtskraft vollständig zu kompensieren deshalb fällt sie nach unten Richtung x der Ruhelage. Dabei gelten die genau gleichen Gleichungen wie oben. Die Proportionalitätskonstante kann in der letzten Gleichung direkt abgelesen werden: tcbhighmathhighlight mathK rho' g A fracmgx
Eine zylindrische Boje schwinge im See auf und ab. Weise nach dass diese Boje harmonisch schwingt.
Solution:
Es handelt sich um eine harmonische Schwingung falls die rücktreibe Kraft proportional zur Elongation ist also falls formal F -Ky ist. Eine zylindrische Boje mit Dichte rho Querschnittsfläche A und Höhe h liegt um folge Tiefe im Wasser: sscFA sscFG rho' V' g rho V g rho' Ax rho Ah x fracrhorho'h Diese Tiefe definiert die Ruhelage der Boje. Drückt man so eine zylindrische Boje nun ein wenig mehr -- sagen wir um y -- ins Wasser so erfährt sie mehr Auftrieb als nötig ist um ihre Gewichtskraft zu kompensieren; dieser zusätzliche Auftrieb ist gerade die Kraft welche die Boje zurück zu ihrer Ruhelage zwingt: F - rho' Ay g - rho' g A y Schon an dieser Gleichung sieht man an dass die rücktreibe Kraft proportional zur Elongation ist; manchmal will man diese Kraft aber durch die Tiefe mit der die Boje im Wasser liegt ausdrücken: - rho frachx g A y - fracrho Ahgx y - fracmgx y Die gleiche Überlegung gilt falls man die Boje statt ins Wasser zu drücken etwas aus dem Wasser anhebt und fallen lässt. In diesem Fall erfährt die Boje etwas zu wenig Auftrieb um ihre Gewichtskraft vollständig zu kompensieren deshalb fällt sie nach unten Richtung x der Ruhelage. Dabei gelten die genau gleichen Gleichungen wie oben. Die Proportionalitätskonstante kann in der letzten Gleichung direkt abgelesen werden: tcbhighmathhighlight mathK rho' g A fracmgx