Antipodentransport
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Exercise:
Im Norden Spaniens werde mitten durch die Erde ein Loch bzw. ein Tunnel zum antipodischen gegenüberliegen Punkt gegraben. Schwingt eine in den Tunnel fallengelassene Liftkabine harmonisch?
Solution:
Es handelt sich um eine harmonische Schwingung falls die rücktreibe Kraft proportional zur Elongation ist also falls formal F -Ky ist. Die Ruhelage in so einem durch die Erde gehen Tunnel entspricht dem Mittelpunkt der Erde; lenkt man von dort eine Masse in Richtung Oberfläche aus so wird sich diese aufgrund der Gravitationskraft zurück zur Ruhelage -- dem Mittelpunkt -- bewegen. Es ist nun wichtig zu wissen dass dabei nur die Masse innerhalb einer Kugel deren Radius durch die Position des schwingen Körpers definiert wird eine resultiere Kraft auf diesen Körper ausübt. Folge Skizze soll das veranschaulichen: center tikzpicture filldrawcolorblue fillblue!!white circle cm; filldrawcolorred fillred!!white circle cm; filldrawcolorblack fillwhite opacity. -.- rectangle .; filldrawcolorblack fillyellow circle .cm tikzpicture center Die blaue Kugelschale übt auf den gelben schwingen Körper keine resultiere Gravitationskraft aus. Alle Kräftevektoren der verschiedenen glqq blauengrqq Massenteile addieren sich zu null. Nur die rote Kugel übt eine zur Ruhelage rücktreibe Kraft auf den gelben Körper aus. Um diese zu berechnen muss die Masse M' der roten Kugel mit Radius y bekannt sein; diese hängt von der Position y des gelben Körpers ab: F -G fracM'my^ -G fracrho V' my^ -G fracrho fracpi y^ my^ -G fracrho fracpi y^ my^ -G rho fracpi y m In dieser Gleichung ist nun die Dichte der Erde noch unbekannt; sie kann aber durch die Masse M der gesamten Erde sowie ihr durch ihren Radius R definiertes Kugelvolumen ausgedrückt werden: rho fracMV fracMfrac pi R^ fracM pi R^ Eingesetzt oben folgt für die rücktreibe Kraft: F -G rho fracpi y m -G fracM pi R^ fracpi y m -G fracMmR^ y Somit ist gezeigt dass die rücktreibene Kraft proportional zur Elongation ist womit es sich hier um eine harmonische Schwingung handelt. Die Proportionalitätskonstante K beinhaltet dabei die glqq Physik des Problemesgrqq sie ist: tcbhighmathhighlight mathK G fracMmR^
Im Norden Spaniens werde mitten durch die Erde ein Loch bzw. ein Tunnel zum antipodischen gegenüberliegen Punkt gegraben. Schwingt eine in den Tunnel fallengelassene Liftkabine harmonisch?
Solution:
Es handelt sich um eine harmonische Schwingung falls die rücktreibe Kraft proportional zur Elongation ist also falls formal F -Ky ist. Die Ruhelage in so einem durch die Erde gehen Tunnel entspricht dem Mittelpunkt der Erde; lenkt man von dort eine Masse in Richtung Oberfläche aus so wird sich diese aufgrund der Gravitationskraft zurück zur Ruhelage -- dem Mittelpunkt -- bewegen. Es ist nun wichtig zu wissen dass dabei nur die Masse innerhalb einer Kugel deren Radius durch die Position des schwingen Körpers definiert wird eine resultiere Kraft auf diesen Körper ausübt. Folge Skizze soll das veranschaulichen: center tikzpicture filldrawcolorblue fillblue!!white circle cm; filldrawcolorred fillred!!white circle cm; filldrawcolorblack fillwhite opacity. -.- rectangle .; filldrawcolorblack fillyellow circle .cm tikzpicture center Die blaue Kugelschale übt auf den gelben schwingen Körper keine resultiere Gravitationskraft aus. Alle Kräftevektoren der verschiedenen glqq blauengrqq Massenteile addieren sich zu null. Nur die rote Kugel übt eine zur Ruhelage rücktreibe Kraft auf den gelben Körper aus. Um diese zu berechnen muss die Masse M' der roten Kugel mit Radius y bekannt sein; diese hängt von der Position y des gelben Körpers ab: F -G fracM'my^ -G fracrho V' my^ -G fracrho fracpi y^ my^ -G fracrho fracpi y^ my^ -G rho fracpi y m In dieser Gleichung ist nun die Dichte der Erde noch unbekannt; sie kann aber durch die Masse M der gesamten Erde sowie ihr durch ihren Radius R definiertes Kugelvolumen ausgedrückt werden: rho fracMV fracMfrac pi R^ fracM pi R^ Eingesetzt oben folgt für die rücktreibe Kraft: F -G rho fracpi y m -G fracM pi R^ fracpi y m -G fracMmR^ y Somit ist gezeigt dass die rücktreibene Kraft proportional zur Elongation ist womit es sich hier um eine harmonische Schwingung handelt. Die Proportionalitätskonstante K beinhaltet dabei die glqq Physik des Problemesgrqq sie ist: tcbhighmathhighlight mathK G fracMmR^