Impuls von stationären Zuständen
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Exercise:
Zeigen Sie für einen stationären Zustand des unlichen Potentialtopfs dass der Erwartungswert des Impulses null ist und dass die Standardabweichung gegeben ist durch sigma_p fracnpi hbarL
Solution:
Der Erwartungswert für den stationären Zustand n ist langle p rangle_n _^L psi_n^*xt hat p psi_nxt textrmdx _^L psi_n^*xt fractextrmdtextrmdxpsi_nxt textrmdx _^L A^* sink_n x -ihbarfractextrmdtextrmdxAsink_n x textrmdx |A|^_^L sink_n xcosk_n x k_n textrmd x k_n |A|^ _^L sink_n xcosk_n x textrmdx Mit der trigonometrischen Identität sinalphacosbeta fracleftsinalpha-beta+sinalpha+betaright kann der Integrand geschrieben werden als sink_n xcosk_n x fracleftsin+sin k_n xright fracsin k_n x Das Integral von sin k_n x ist _^L sin k_n x textrmdx -fraccos k_n x k_n Big|_^L -fraccos k_n L-cos k_n -fraccos pi n-cos k_n -frac - k_n Dies führt zum ersten Resultat. vspacemm Der Erwartungswert für p^ ist langle p^ rangle_n _^L psi_n^*xt hat p^ psi_nxt textrmdx _^L psi_n^*xt -hbar^fractextrmd^textrmdx^A sink_n xe^iomega t textrmdx -hbar^_^L psi_n^*xt-Asink_n xk_n^ e^iomega t textrmdx hbar^ k^ _^L psi_n^*xt psi_nxt textrmdx hbar k_n^ wobei wir die Normalisierungsbedingung für den Zustand psi_n verwet haben. vspacemm Es folgt für die Standardabweichung sigma_pn sqrtlangle p^ rangle_n - langle p rangle_n^ sqrthbar k_n^ - hbar k_n hbar fracnpiL fracnpihbarL
Zeigen Sie für einen stationären Zustand des unlichen Potentialtopfs dass der Erwartungswert des Impulses null ist und dass die Standardabweichung gegeben ist durch sigma_p fracnpi hbarL
Solution:
Der Erwartungswert für den stationären Zustand n ist langle p rangle_n _^L psi_n^*xt hat p psi_nxt textrmdx _^L psi_n^*xt fractextrmdtextrmdxpsi_nxt textrmdx _^L A^* sink_n x -ihbarfractextrmdtextrmdxAsink_n x textrmdx |A|^_^L sink_n xcosk_n x k_n textrmd x k_n |A|^ _^L sink_n xcosk_n x textrmdx Mit der trigonometrischen Identität sinalphacosbeta fracleftsinalpha-beta+sinalpha+betaright kann der Integrand geschrieben werden als sink_n xcosk_n x fracleftsin+sin k_n xright fracsin k_n x Das Integral von sin k_n x ist _^L sin k_n x textrmdx -fraccos k_n x k_n Big|_^L -fraccos k_n L-cos k_n -fraccos pi n-cos k_n -frac - k_n Dies führt zum ersten Resultat. vspacemm Der Erwartungswert für p^ ist langle p^ rangle_n _^L psi_n^*xt hat p^ psi_nxt textrmdx _^L psi_n^*xt -hbar^fractextrmd^textrmdx^A sink_n xe^iomega t textrmdx -hbar^_^L psi_n^*xt-Asink_n xk_n^ e^iomega t textrmdx hbar^ k^ _^L psi_n^*xt psi_nxt textrmdx hbar k_n^ wobei wir die Normalisierungsbedingung für den Zustand psi_n verwet haben. vspacemm Es folgt für die Standardabweichung sigma_pn sqrtlangle p^ rangle_n - langle p rangle_n^ sqrthbar k_n^ - hbar k_n hbar fracnpiL fracnpihbarL