Exercise:
Der Ortsoperator hat x für die Ortsmessung entspricht der Multiplikation mit x. Es folgt dass der Erwartungswert für den Ort eines quantenmechanischen Teilchens z.B. eines Elektrons in einem Zustand mit Wellenfunktion psixt gegeben ist als langle x rangle psi^*xt x psixt textrmdx |psixt|^ x textrmdx abcliste abc Zeigen Sie dass der Erwartungswert für ein Teilchen in einem stationären Eigenzustand des unlichen Potentialtopfs den erwarteten Wert langle x rangleL/ hat. abc Leiten Sie die Standardabweichung der Ortsmessung ab. abcliste

Solution:
abcliste abc Der Erwartungswert für das n-te Energieniveau ist gegeben durch langle x rangle A^_^L sin^k_n x x textrmdx fracA^_^Lleft-cosk_n xright x textrmdx fracA^_^L x textrmdx - fracA^ _^Lcos k_n x x textrmdx wo wir verwet haben dass sin^alpha fracleft-cosalpharight Das erste Integral kann einfach ausgewertet werden: _^L x textrmdx fracx^ Big|_^L fracL^ fracL Das zweite Integral kann mit partieller Integration berechnet werden wobei fx x und g'x cosk_n x gewählt werden: _^Lcos k_n x x textrmdx fracsin k_n x k_n x Big|_^L - _^L fracsin k_n x k_n textrmdx fracsin k_n L k_n L + fraccos k_n x k_n^ Big|_^L fracsinpi n k_n L + fraccospi n-cos k_n^ + frac- k_n^ Es folgt für den Erwartungswert langle x rangle fracA^ fracL^ fracfracLfracL^ fracL abc Die Standardabweichung ist sigma sqrtlangle x^ rangle - langle x rangle^ Wir wissen bereits dass langle x rangle fracL Der Erwartungswert für x^ ist langle x^ rangle A^_^L sink_n x x^ textrmdx fracA^_^L left-cosk_n xright x^ textrmdx Der erste Term im Integral ergibt _^L x^ textrmdx fracx^Big|_^L fracL^ Für den zweiten Term verwen wir partielle Integration mit fx x^ und g'x cosk_n x: _^L cos k_n x x^ textrmdx fracsin k_n x k_n x^ Big|_^L - _^L fracsin k_n x k_nx textrmdx fracsinpi n-sink_n-_^L fracsin k_n x k_nx textrmdx - _^L fracsin k_n x k_n x textrmdx Wir verwen erneut partielle Integration mit fx x und g'x sink_n x: dots - leftfrac-cos k_n x k_n^ x Big|_^L - _^L frac-cos k_n x k_n textrmdx right fraccospi nL k_n^+_^L fraccos k_n xk_n textrmdx fracLpi^/L^ + fracsin k_n x k_n^ Big|_^L fracL^ n^ pi^ + fracsinpi-sink_n^ fracL^ n^ pi^ Zusammenfass finden wir langle x^ rangle fracA^ leftfracL^ - fracL^ n^ pi^ right fracL L^ leftfrac-frac n^ pi^ right L^ leftfrac-frac n^ pi^right Die Varianz sigma^ ist somit sigma^ langle x^ rangle - langle x rangle ^ L^ leftfrac-frac n^ pi^ - frac right L^ leftfrac - frac n^ pi^ right L^ fracn^ pi^ - n^ pi^ und die Standardabweichung sigma sqrtlangle x^ rangle - langle x rangle ^ L sqrtfracn^ pi^ - n^ pi^ Für n beträgt die relative Standardabweichung fracsigmaL siP Für hohe Quantenzahlen ntoinfty strebt die relative Standardabweichung gegen fracsigma_inftyL siinfF siinfP Die EnergiEigenzustände sind keine Eigenzustände des Ortsoperators! abcliste