Exercise:
textbfFormula Ricorsiva leftrightarrow Diretta Per ognuna delle seguenti sequenze calcola i primi termini a mano o sfruttando Excel e poi passa dalla formula ricorsiva a quella diretta o viceversa ipotizzando una formula verificando l'ipotesi formalmente tramite textbfinduzione completa. minipagec.linewidth enumerate item a_ quad a_n+ a_n item b_ quad b_n+b_n- item c_ quad c_n+ c_n^ item d_ quad d_n+-d_n enumerate minipage minipagec.linewidth enumeratesetcounterenumii item e_nn item f_n ^n- item g_nn^+n item h_nfrac^n+-^n enumerate minipage

Solution:
Per passare dalla formula ricorsiva a quella esplicita iniziamo a formare le sequenze ipotizziamo la formula diretta e poi la verifichiamo: abclist abc Da a_ e a_n+ a_n otteniamo la sequenza dots ^ ^ ^dots. Da cui vediamo che la formula dovrebbe essere a_n ^n. Infatti a_n ^n ^n+a_n+ e anche il primo con indice corrisponde: a_ ^ quadcheckmark abc b_ e b_n+b_n-. Calcoliamo i primi termini ----dots dunque sembrerebbe trattarsi di b_n-n. Verifichiamolo b_- checkmark. E b_n--n--n+b_n+quad checkmark. abc c_ e c_n+ c_n^. Calcoliamo i primi termini ^^ ^^ ^^ ^^ ^dots da cui vediamo che le potenze di sono quindi saranno le potenze di mentre le potenze di sono sempre quella precedente. La formula dovrebbe quindi essere c_n^^n ^^n-. Verifichiamo che sia compatibile con la regola di successione c_n^ ^^n ^^n-^ ^^n ^ ^n-^^n+^^n+-+^^n+^^n+-c_n+. mentre il termine c_^^ ^^-quad checkmark. abc d_ e d_n+-d_n. Calcoliamo i primi termini: ---dots. Sembrerebbe trattarsi di una sequenza che alterna e - dunque la formula dovrebbe essere d_nfrac+frac -^n nneq parte da quindi il primo indice è pari ossia . Verifichiamo la ricorsione: -d_n-frac+frac -^nfrac-frac -^nfrac+frac -^n+d_n+ e verifichiamo il termine con indice : d_frac+frac -^frac+fracquad checkmark. abclist Come già detto nelle dispense questa seconda direzione è meno fondamentale in quanto quello che ci eressa nel più delle occasioni è una formula esplicita. Nuovamente ispezioniamo la successione e cerchiamo di trovare una regola per definirla: abclist abc e_nn. I primi termini della sequenza sono dots dunque sembra relativamente ovvio che di termine in termine ci sia un aumento di dunque d_n+d_n+ mentre il primo termine è . Verifichiamo dunque la formula ricorsiva: e_n+n+n+e_n+. abc f_n ^n-. Possiamo riscrivere la sequenza come e_nfrac ^n e dunque i primi termini della sequenza sono leftfracfrac frac ^frac ^dots right dunque di termine in termine sembra esserci una moltiplicazione per f_n+ f_n mentre il primo termine è naturalmente f_frac. Verifichiamolo f_n frac^nfrac^n+f_n+. abc g_nn^+n. I primi termini della sequenza sono dots il che non sembra aiutarci molto. Se però scriviamo g_n+n+^+n+n^+n+ notiamo che siccome g_nn^+n vale g_n+n^+n+g_n+n+ con g_. Siccome la formula trovata deriva direttamente dalla formula esplicita la verifica non è altro che l'ultima equazione letta da destra verso sinistra. abc h_nfrac^n+-^n. I primi termini della sequenza sono dots possiamo dunque definirla come casesh_ h_ h_n h_n- cases abclist