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https://texercises.com/exercise/integral-partialbruchzerlegung/
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Exercise:
displaystyle fxfracx^x-x-^. Berechne die Stammfunktion.

Solution:
Bei dieser Funktion ist der Zähler nicht mehr grösser als der Nenner wir führen daher eine Polynomdivision durch: polynomdivision polylongdivx^x^-x^+x- Die Schwierigkeit wird im Folgen also darin bestehen fracx^-x+x^-x^+x- zu egrieren. Für diesen Term suchen wir die Partialbruchzerlegung. Da wir die Nullstellen schon kennen lautet der Ansatz: tiny * fracx^-x+x^-x^+x- fraca_x-+fraca_x-+fraca_x-^ fraca_x-^+a_x-x-+a_x-x-x-^ fraca_+a_ x^ + -a_-a_+a_x+a_+a_-a_x-x-^ * Der Koeffizientenvergleich führt dann auf folges Gleichungssystem: partialkv * arraylrcrcrcr x^:qquad&qquad & a_ &+& a_ & & x^:qquad&qquad - & -a_ &+& -a_ &+& a_ x^:qquad&qquad & a_ &-& a_ &-& a_ array * tcblower Die Lösung dieses Gleichungssystemes lautet: a_ +frac a_ +frac a_ -frac Das Integral der angegebenen Funktion ist damit: Fx tcbhighmathaufgabe fracx^x-x-^ddx left+fracx^-x+x^-x^+x- rightddx left+fracx-+fracx--fracx-^ rightddx tcbhighmathloesungx+fraclnx-+fraclnx--fracx-+c
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Exercise:
displaystyle fxfracx^x-x-^. Berechne die Stammfunktion.

Solution:
Bei dieser Funktion ist der Zähler nicht mehr grösser als der Nenner wir führen daher eine Polynomdivision durch: polynomdivision polylongdivx^x^-x^+x- Die Schwierigkeit wird im Folgen also darin bestehen fracx^-x+x^-x^+x- zu egrieren. Für diesen Term suchen wir die Partialbruchzerlegung. Da wir die Nullstellen schon kennen lautet der Ansatz: tiny * fracx^-x+x^-x^+x- fraca_x-+fraca_x-+fraca_x-^ fraca_x-^+a_x-x-+a_x-x-x-^ fraca_+a_ x^ + -a_-a_+a_x+a_+a_-a_x-x-^ * Der Koeffizientenvergleich führt dann auf folges Gleichungssystem: partialkv * arraylrcrcrcr x^:qquad&qquad & a_ &+& a_ & & x^:qquad&qquad - & -a_ &+& -a_ &+& a_ x^:qquad&qquad & a_ &-& a_ &-& a_ array * tcblower Die Lösung dieses Gleichungssystemes lautet: a_ +frac a_ +frac a_ -frac Das Integral der angegebenen Funktion ist damit: Fx tcbhighmathaufgabe fracx^x-x-^ddx left+fracx^-x+x^-x^+x- rightddx left+fracx-+fracx--fracx-^ rightddx tcbhighmathloesungx+fraclnx-+fraclnx--fracx-+c
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Attributes & Decorations
Tags
differentialrechnung, gebrochen, integral, integralrechnung, mathematik, partialbruchzerlegung, polynomdivision, rational
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Difficulty
(4, default)
Points
3 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Calculative / Quantity
Creator uz
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