Exercise
https://texercises.com/exercise/integrale-zur-radialfunktion/
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Exercise:
Überpüfen Sie folge Integrale: abcliste abc I_n _^infty r^n e^-r/a textrmdr n! a^n+ abc I'_n _^infty r^n lefte^-r/a right^ textrmdr fracn! a^n+^n+ abcliste

Solution:
abcliste abc Für n ist das Integral I_ _^infty r^ e^-r/a textrmdr _^infty e^-r/a textrmdr -a e^-r/a Big|_^infty Da e^-r/ato für rtoinfty folgt I_ + a e^/a a Für n verwen wir partielle Integration mit frr^n und g're^-r/a: I_n leftr^n-ae^-r/aright_^infty-_^infty n r^n--a e^-r/a textrmdr Da für alle n r^n e^-r/a &to quad textrmfor rtoinfty und ^n e^-/a times verschwindet der erste Term. Es folgt I_n n a _^infty r^n- e^-r/a textrmdr n a I_n- Durch rekursive Fortsetzung erhalten wir für das Integral I_n n a times n- a times n- a times s times a times I_ n! a^n times a n! a^n+ quad square abc Da lefte^-r/aright^ e^-r/a e^-r/a' mit a'a/ können wir das Integral I'_n schreiben als I'_n _^infty r^n e^-r/a' textrmdr n! a'^n+ n! leftfracaright^n+ fracn! a^n+^n+ quad square abcliste
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Exercise:
Überpüfen Sie folge Integrale: abcliste abc I_n _^infty r^n e^-r/a textrmdr n! a^n+ abc I'_n _^infty r^n lefte^-r/a right^ textrmdr fracn! a^n+^n+ abcliste

Solution:
abcliste abc Für n ist das Integral I_ _^infty r^ e^-r/a textrmdr _^infty e^-r/a textrmdr -a e^-r/a Big|_^infty Da e^-r/ato für rtoinfty folgt I_ + a e^/a a Für n verwen wir partielle Integration mit frr^n und g're^-r/a: I_n leftr^n-ae^-r/aright_^infty-_^infty n r^n--a e^-r/a textrmdr Da für alle n r^n e^-r/a &to quad textrmfor rtoinfty und ^n e^-/a times verschwindet der erste Term. Es folgt I_n n a _^infty r^n- e^-r/a textrmdr n a I_n- Durch rekursive Fortsetzung erhalten wir für das Integral I_n n a times n- a times n- a times s times a times I_ n! a^n times a n! a^n+ quad square abc Da lefte^-r/aright^ e^-r/a e^-r/a' mit a'a/ können wir das Integral I'_n schreiben als I'_n _^infty r^n e^-r/a' textrmdr n! a'^n+ n! leftfracaright^n+ fracn! a^n+^n+ quad square abcliste
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  1. 15 | 15

Attributes & Decorations
Branches
Integrals
Tags
integration by parts, radial, spherical coordinates
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Difficulty
(2, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Calculative / Quantity
Creator by
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