Maturità 1
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Exercise:
Maturità --- Corso approfondito Considera la funzione reale fxfrac+x-x^ abclist abc Dopo averne determinato l'insieme di definizione gli asoti gli estremi e i flessi rappresenta il grafico di f con unità opportune. labelpartea abc Calcola _^/fxdx labelparteb abc Sia f^nx la derivata n-esima di fx. Dimostra che induzione completa che per tutte le nin mathbbN^ast vale labelpartec f^nxfracn+!x+n+-x^n+ abc Determina il polinomio di Taylor di secondo grado di f in x_ labelparted abc Sfruttando la parte precedente refparted calcola l'egrale della parte refparteb e valutane l'errore relativo. abclist
Solution:
abclist abc Notiamo subito che il dominio è mathbbRsetminus che in abbiamo un asoto verticale e che in +pminfty la funzione te a dunque avremo un asoto orizzontale y. abc Abbiamo che fxfrac+x-x^frac-+x+-x^frac--x^+frac-x^ Da cui è facile ottenere la primitiva Fx-frac-x+frac-x^+Cfracx-x^+C L'egrale definito è dunque _^/fxdxF/-Ffrac/-/^frac abc Dalla parte refpartea o dalla parte refpartec conosciamo le prime derivate. Dunque possiamo calcolare i coefficienti ff'f'' e da qui p_xf+f'x+fracf''x!x^+x+x^ abc Usando la parte precedente otteniamo _^/fxdxapprox _^/p_xdx_^/+x+x^dxx+x^+x^Big|^/_frac. L'errore relativo è dunque left|frac/-//right|fracapprox % abclist
Maturità --- Corso approfondito Considera la funzione reale fxfrac+x-x^ abclist abc Dopo averne determinato l'insieme di definizione gli asoti gli estremi e i flessi rappresenta il grafico di f con unità opportune. labelpartea abc Calcola _^/fxdx labelparteb abc Sia f^nx la derivata n-esima di fx. Dimostra che induzione completa che per tutte le nin mathbbN^ast vale labelpartec f^nxfracn+!x+n+-x^n+ abc Determina il polinomio di Taylor di secondo grado di f in x_ labelparted abc Sfruttando la parte precedente refparted calcola l'egrale della parte refparteb e valutane l'errore relativo. abclist
Solution:
abclist abc Notiamo subito che il dominio è mathbbRsetminus che in abbiamo un asoto verticale e che in +pminfty la funzione te a dunque avremo un asoto orizzontale y. abc Abbiamo che fxfrac+x-x^frac-+x+-x^frac--x^+frac-x^ Da cui è facile ottenere la primitiva Fx-frac-x+frac-x^+Cfracx-x^+C L'egrale definito è dunque _^/fxdxF/-Ffrac/-/^frac abc Dalla parte refpartea o dalla parte refpartec conosciamo le prime derivate. Dunque possiamo calcolare i coefficienti ff'f'' e da qui p_xf+f'x+fracf''x!x^+x+x^ abc Usando la parte precedente otteniamo _^/fxdxapprox _^/p_xdx_^/+x+x^dxx+x^+x^Big|^/_frac. L'errore relativo è dunque left|frac/-//right|fracapprox % abclist