Solidi di rotazione e lunghezze di curve 3
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Exercise:
textbfCicloide abclist abc Determina una parametrizzazione di una cicloide definita da un cerchio di raggio r abc Esprimi x in funzione di y abc Determina la lunghezza di un arco di cicloide abc Determina l'area definita da un arco di cicloide abclist
Solution:
abclist abc Siccome il centro si muove in modo uniforme ad altezzza r la sua parametrizzazione è data da pmatrix xt yt pmatrixpmatrixrt r pmatrix Nel mentre il punto ruota lungo la circonferenza dunque sarà del tipo rcostrsint e quindi l'era parametrizzazione è data da pmatrix xt yt pmatrixpmatrix rt-sint r-cost pmatrix abc Isolando la t nell'espressione di y si ottiene tarccosleft-frac yrright e inserola in quella di x si ottiene xyrarccosleft-frac yrright-sqrt yr-y. abc Per determinare la lunghezza dell'arco calcoliamo la derivata rispetto a y e poi egriamo da ad r. La derivata è mirocolosamente semplice: x'yfracysqrtr-yy da cui la lunghezza diventa _^rsqrt+x'y^dy _^rsqrtfracrr-ydy -sqrtr sqrtr-yBig|^r_r abc Per ottenere l'area al di sotto della cicloide invece possiamo egrare l'era funzione che è composta da due primitive note: arccosxdxxarccosx-sqrt-x^+C e sqrt-x^dxfracleftarcsinx+xsqrt-x^right+C da cui _^rrarccosleft-frac yrright-sqrt yr-ydy abclist
textbfCicloide abclist abc Determina una parametrizzazione di una cicloide definita da un cerchio di raggio r abc Esprimi x in funzione di y abc Determina la lunghezza di un arco di cicloide abc Determina l'area definita da un arco di cicloide abclist
Solution:
abclist abc Siccome il centro si muove in modo uniforme ad altezzza r la sua parametrizzazione è data da pmatrix xt yt pmatrixpmatrixrt r pmatrix Nel mentre il punto ruota lungo la circonferenza dunque sarà del tipo rcostrsint e quindi l'era parametrizzazione è data da pmatrix xt yt pmatrixpmatrix rt-sint r-cost pmatrix abc Isolando la t nell'espressione di y si ottiene tarccosleft-frac yrright e inserola in quella di x si ottiene xyrarccosleft-frac yrright-sqrt yr-y. abc Per determinare la lunghezza dell'arco calcoliamo la derivata rispetto a y e poi egriamo da ad r. La derivata è mirocolosamente semplice: x'yfracysqrtr-yy da cui la lunghezza diventa _^rsqrt+x'y^dy _^rsqrtfracrr-ydy -sqrtr sqrtr-yBig|^r_r abc Per ottenere l'area al di sotto della cicloide invece possiamo egrare l'era funzione che è composta da due primitive note: arccosxdxxarccosx-sqrt-x^+C e sqrt-x^dxfracleftarcsinx+xsqrt-x^right+C da cui _^rrarccosleft-frac yrright-sqrt yr-ydy abclist