Ottimizzazione e integrazione 4
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Exercise:
Maturità --- Corso approfonditovspac.cm center includegraphicswidth.linewidth#image_path:guido-lob-mat__# center
Solution:
Guardando con attenzione la figura si nota che l'area considerata è l'egrale della curva meno l'area di un trapezio rettangolo. L'area della curva è semplicemente _^inftyfracx^dxfrac-xBig|^infty_ Mentre per ottenere l'area del trapezio rettangolo notiamo che la base minore superiore è lunga a- mentre l'altezza è tfraca^. Per determinare la base maggiore determiniamo la tangente. Siccome la derivata è yfrac-x^ la tangente nel punto leftafraca^right è data dalla forma t_axfrac-a^x-a+fraca^frac-x+aa^ dunque la sua ersezione con l'asse delle ascisse è in xfraca e quindi la base maggiore è tfraca-. A questo punto l'area del trapezio è mathcalA_texttrapafractfraca-a^ e quindi sottrao le due otteniamo che l'area dell'era figura è mathcalAa-fractfraca-a^-fraca+fraca^. Per determinarne l'estremo la deriviamo e la poniamo a . La derivata è mathcalA'afraca^-fraca^fraca-a^overset!iff afrac. Tramite la seconda derivata notimao che mathcalA''afrac-a^+fraca^implies mathcalA''leftfracrightfrac dunque si tratta di un minimo. L'area risulta mathcalAfracfrac.
Maturità --- Corso approfonditovspac.cm center includegraphicswidth.linewidth#image_path:guido-lob-mat__# center
Solution:
Guardando con attenzione la figura si nota che l'area considerata è l'egrale della curva meno l'area di un trapezio rettangolo. L'area della curva è semplicemente _^inftyfracx^dxfrac-xBig|^infty_ Mentre per ottenere l'area del trapezio rettangolo notiamo che la base minore superiore è lunga a- mentre l'altezza è tfraca^. Per determinare la base maggiore determiniamo la tangente. Siccome la derivata è yfrac-x^ la tangente nel punto leftafraca^right è data dalla forma t_axfrac-a^x-a+fraca^frac-x+aa^ dunque la sua ersezione con l'asse delle ascisse è in xfraca e quindi la base maggiore è tfraca-. A questo punto l'area del trapezio è mathcalA_texttrapafractfraca-a^ e quindi sottrao le due otteniamo che l'area dell'era figura è mathcalAa-fractfraca-a^-fraca+fraca^. Per determinarne l'estremo la deriviamo e la poniamo a . La derivata è mathcalA'afraca^-fraca^fraca-a^overset!iff afrac. Tramite la seconda derivata notimao che mathcalA''afrac-a^+fraca^implies mathcalA''leftfracrightfrac dunque si tratta di un minimo. L'area risulta mathcalAfracfrac.