Exercise:
Ein Würfel ist gegeben. C ist der Kantenmittelpunkt. Bestimme einen Punkt P auf der Strecke overlineCD so dass gilt: angleAPB pgfmathprnumberdegr^circ. Die Kantenlänge des Würfels beträgt pgfmathprnumberkantl Einheiten.

Solution:
Aus dem Aufgabentext können folge Punkte herausgelesen werden: * A pgfmathprnumberkantlpgfmathprnumberkantl B pgfmathprnumberkantlpgfmathprnumberkantlpgfmathprnumberkantl C pgfmathprnumberkantlpgfmathprnumberkantkl D pgfmathprnumberkantklpgfmathprnumberkantklpgfmathprnumberkantl * Der Vektor zwischen C und D ist folger: * vvtextCDvvtextD-vvtextC pmatrixpgfmathprnumberkantklpgfmathprnumberkantklpgfmathprnumberkantlpmatrix -pmatrixpgfmathprnumberkantlpgfmathprnumberkantklpmatrix pmatrixpgfmathprnumbercdxpgfmathprnumbercdypgfmathprnumbercdzpmatrix * Die Parametergleichung der Strecke overlinetextCD ist daher folgermassen: * overlineCD pmatrixxyzpmatrix vvtextC+lambdavvtextCD pmatrixpgfmathprnumberkantlpgfmathprnumberkantklpmatrix+lambdapmatrixpgfmathprnumbercdxpgfmathprnumbercdypgfmathprnumbercdzpmatrix pmatrixpgfmathprnumberkantlpgfmathprnumberkantklpmatrix+lambdapmatrixpgfmathprnumberpxpgfmathprnumberpypgfmathprnumberpzpmatrix * Daraus folgt: * Ppgfmathprnumberkantlpgfmathprnumbershowpospxlambda/pgfmathprnumberpylambda/pgfmathprnumberkantklpgfmathprnumbershowpospzlambda* Aus der Bedingung dass ein Winkel von angleAPB pgfmathprnumberdegr^circ vorhanden sein muss folgt: * vvtextPAvvtextPB* * vvtextPAvvtextA-vvtextP pmatrixpgfmathprnumberkantlpgfmathprnumberkantlpmatrix -pmatrixpgfmathprnumberkantlpgfmathprnumbershowpospxlambdapgfmathprnumberpylambdapgfmathprnumberkantklpgfmathprnumbershowpospzlambdapmatrix pmatrixpgfmathprnumberkantl-pgfmathprnumberkantlpgfmathprnumbershowpospxlambda-pgfmathprnumberpylambdapgfmathprnumberkantl-pgfmathprnumberkantklpgfmathprnumbershowpospzlambdapmatrix vspace.cm vvtextPBvvtextB-vvtextP pmatrixpgfmathprnumberkantlpgfmathprnumberkantlpgfmathprnumberkantlpmatrix -pmatrixpgfmathprnumberkantlpgfmathprnumbershowpospxlambdapgfmathprnumberpylambdapgfmathprnumberkantklpgfmathprnumbershowpospzlambdapmatrix pmatrixpgfmathprnumberkantl-pgfmathprnumberkantlpgfmathprnumbershowpospxlambdapgfmathprnumberkantl-pgfmathprnumberpylambdapgfmathprnumberkantl-pgfmathprnumberkantklpgfmathprnumbershowpospzlambdapmatrix * * pmatrixpgfmathprnumberkantl-pgfmathprnumberkantlpgfmathprnumbershowpospxlambda-pgfmathprnumberpylambdapgfmathprnumberkantl-pgfmathprnumberkantklpgfmathprnumbershowpospzlambdapmatrixpmatrixpgfmathprnumberkantl-pgfmathprnumberkantlpgfmathprnumbershowpospxlambdapgfmathprnumberkantl-pgfmathprnumberpylambdapgfmathprnumberkantl-pgfmathprnumberkantklpgfmathprnumbershowpospzlambdapmatrix pmatrixlambda-lambdapgfmathprnumberkantkl-lambdapmatrixpmatrixlambdapgfmathprnumberkantl-lambdapgfmathprnumberkantkl-lambdapmatrix lambda^+-lambdapgfmathprnumberkantl-lambda+pgfmathprnumberkantkl-lambda^ pgfmathprnumberkantkllambda^-pgfmathprnumberquadlambda+pgfmathprnumberquadd * newpage Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind: *lambda_frac-bpmsqrtb^-aca fracpgfmathprnumberquadpmsqrtpgfmathprnumberb^-pgfmathprnumberquadcpgfmathprnumberaroot lambda_pgfmathprnumberxone lambda_pgfmathprnumberxtwo * Die Punkte welche die Bedingungen erfüllen sind daher: * P_ pmatrixpgfmathprnumberkantlpgfmathprnumberkantklpmatrix+lambda_pmatrixpgfmathprnumberpxpgfmathprnumberpypgfmathprnumberpzpmatrix pmatrixpgfmathprnumberkantlpgfmathprnumberkantklpmatrix+pgfmathprnumberxonepmatrixpgfmathprnumberpxpgfmathprnumberpypgfmathprnumberpzpmatrix pgfmathprnumberpxone/pgfmathprnumberpyone/pgfmathprnumberpzone P_ pmatrixpgfmathprnumberkantlpgfmathprnumberkantklpmatrix+lambda_pmatrixpgfmathprnumberpxpgfmathprnumberpypgfmathprnumberpzpmatrix pmatrixpgfmathprnumberkantlpgfmathprnumberkantklpmatrix+pgfmathprnumberxtwopmatrixpgfmathprnumberpxpgfmathprnumberpypgfmathprnumberpzpmatrix pgfmathprnumberpxtwo/pgfmathprnumberpytwo/pgfmathprnumberpztwo * center tikzpicturex-.cm-.cmycmcm zcmcm scale. %D-Koordinatensystem: draw- latex green!!black -- koord nodeleftx; draw- latex green!!black -- koord nodebelowy; draw- latex green!!black -- koord nodeleftz; % Ecken pathscalekante kantlkantl coordinate labelleft:A A kantlkantlkantl coordinate labelright:B B kantlkantkl coordinate labelleft: C C kantklkantklkantl coordinate labelabove: D D coordinate E kantl coordinate F kantlkantl coordinate G kantl coordinate H kantl coordinate I kantlkantl coordinate J ; %Kanten drawfonttiny I -- J -- B -- A -- cycle A -- F -- G -- H --J B -- G ; %Kreuz drawfonttiny I -- B J -- A ; %Verbindung drawfonttiny D -- C; %Punkt filldrawblackscalekante pxonepyonepzone circle pt nodeanchornorthP_; filldrawblackscalekante pxtwopytwopztwo circle pt nodeanchornorthP_; tikzpicture center