Exercise:
Zwei Geraden g und h schneiden sich. Die Gerade g geht durch die Punkte Aa/b und Bx/y und die Gerade h durch die Punkte Cd/e und Dp/q. Was sind die Koordinaten des Schnittpunktes der beiden Geraden?

Solution:
Zuerst bestimmen wir die beiden Geraden g und h. Dies bestimmen wir indem wir dessen Funktion herausfinden welche wir als gx y und hx y bezeichnen: g: y mx + q m fracy_A - y_B x_A - x_B fracb - ya - x fracthenumexpr b - ythenumexpr a - x fpevalroundb - y/ a - x Jetzt kann man indem man y mx + q umformt kann man q erhalten. q y - mx b - fpevalroundb - y/ a - x a b - fpeval round b - y/ a - x*a fpeval round b - b - y/ a - x*a h: y mx + q m fracy_A - y_B x_A - x_B frace - qd - p fracthenumexpr e - qthenumexpr d - p fpeval e - q/d - p Jetzt kann man indem man y mx + q umformt kann man q erhalten. q y - mx b - fpeval e - q/ d - p*- d b - fpeval e - q/ d - p*d*- fpeval b - e - q/ d - p*d*- Somit finden wir die Funktionen heraus. g: y fpeval round b - b - y/ a - x*a x + fpeval b - b - y/ a - x*x h: y fpevale - q/ d - p x + fpeval b - e - q/ d - p*d*- Und durch ein bisschen umformen erhalten wir die Koordinatengleichung der beiden Geraden g und h. g: fpeval round b - b - y/ a - x*a x + thenumexpra - xy + thenumexpr b - b - y/ a - x*x * a - x h: fpeval e - q x + fpevald - py + fpeval b - e - q/ d - p*p *d - p Um die x- und y-Werte des Schnittpunktes herauszufinden erstellen wir ein Gleichungssystem da wir zwei Koordinatengleichungen der beiden Geraden haben und wir zwei Unbekannte x und y herausfinden müssen. eqnarray fpeval round b - b - y/ a - x*a x + thenumexpra - xy +fpeval b - b - y/ a - x*x * a - x fpeval e - q x + fpevald - py + thenumexpr b - e - q/ d - p*p *d - p eqnarray Dieses Gleichungssystem lösen wir indem wir die erste Gleichung nach x auflösen. fpeval round b - b - y/ a - x*a x fpevala - x*-y - fpeval b - b - y/ a - x*x * a - x*- x fpeval round a - x*-/b - b - y/ a - x*a y - fpeval round b - b - y/ a - x*x * a - x*-/b + b - y/ a - x*a Jetzt ersetzen wir x in der zweiten Gleichung mit dem Wert von x welches wir in der ersten Gleichung erhielten. fpeval e - q fpeval round a - x*-/b - b - y/ a - x*a y - fpeval round b - b - y/ a - x*x * a - x*-/b - b - y/ a - x*a + fpevald - py + fpeval b - e - q/ d - p*p *d - p Diese lösen wir schlusslich nach y auf. thenumexpr e - q fpeval a - x*-/b - b - y/ a - x*a y - fpeval b - b - y/ a - x*x * a - x*-/b - b - y/ a - x*a + fpevald - py + fpeval b - e - q/ d - p*p *d - p fpeval a - x*-/b - b - y/ a - x*a*e - qy - fpeval b - b - y/ a - x*x * a - x*-/b - b - y/ a - x*a*e - q + fpevald - py + fpeval b - e - q/ d - p*p *d - p fpeval a - x*-/b - b - y/ a - x*a*e - q y + fpevald - py fpeval b - b - y/ a - x*x * a - x*-/b - b - y/ a - x*a*e - q - fpeval b - e - q/ d - p*p *d - p*- fpeval a - x*-/b - b - y/ a - x*a*e - q+d - p y fpeval b - b - y/ a - x*x * a - x*-/b - b - y/ a - x*a*e - q - b - e - q/ d - p*p *d - p*- y fpeval b - b - y/ a - x*x * a - x*-/b - b - y/ a - x*a*e - q - b - e - q/ d - p*p *d - p*-/a - x*-/b - b - y/ a - x*a*e - q+d - p Jetzt setzen wir das y in die erste Gleichung wo wir nach x aufgelöst haben. x fpevala - x*-/b - yy - fpeval b - b - y/ a - x*x * a - x*-/b - y fpevala - x*-/b - y fpeval b - b - y/ a - x*x * a - x*-/b - b - y/ a - x*a*e - q - b - e - q/ d - p*p *d - p*-/a - x*-/b - b - y/ a - x*a*e - q+d - p - fpeval b - b - y/ a - x*x * a - x*-/b - y fpevala - x*-/b - y * b - b - y/ a - x*x * a - x*-/b - b - y/ a - x*a*e - q - b - e - q/ d - p*p *d - p*-/a - x*-/b - b - y/ a - x*a*e - q+d - p - b - b - y/ a - x*x * a - x*-/b - y Somit konnten wir den Schnittpunkt der beiden Geraden g und h bestimmen. Diese lautet Sfpevala - x*-/b - y * b - b - y/ a - x*x * a - x*-/b - b - y/ a - x*a*e - q - b - e - q/ d - p*p *d - p*-/a - x*-/b - b - y/ a - x*a*e - q+d - p - b - b - y/ a - x*x * a - x*-/b - y/fpeval b - b - y/ a - x*x * a - x*-/b - b - y/ a - x*a*e - q - b - e - q/ d - p*p *d - p*-/a - x*-/b - b - y/ a - x*a*e - q+d - p . center tikzpicture cross/.styledraw cross out minimum size*#-pt inner seppt outer seppt x.cm y.cm %Raster zeichnen draw colorgray! stepmm -- grid ; % Achsen zeichnen draw-thickgreen - -- noderight x; draw-thickgreen - -- nodeabove y; % Achsen beschriften foreach x in - draw x-. -- x. nodebelowptgreen scriptstylex; foreach y in - draw -.y -- .y nodeleftptgreen scriptstyley; %Punkte beschriften coordinatelabelright:A A at ab; coordinatelabelright:B B at de; coordinatelabelright:C C at pq; coordinatelabelright:D D at xy; coordinatelabel:S S at ersection of A--B and C--D; fill S circle pt; fill A circle pt; fill B circle pt; fill C circle pt; fill D circle pt; ZeichneGeradeabde; ZeichneGeradepqxy; tikzpicture center