Exercise:
Tarzan m kg will einen Fluss im Dschungel in gewohnter Manier überqueren. Hierzu hat er ein lm langes Seil an einer Baumkrone befestigt die sich oberhalb der Flussmitte befindet. Das Seil bildet einen Winkel von varphi grad mit dem Lot auf die Flussoberfläche. Unter den Blicken eines offenbar hungrigen Krokodils lässt sich Tarzan vorsichtig und mit angezogenen Beinen in Richtung des gegenüberligen Ufers hinüberschwingen ohne selber vom Ufer abzustossen. Im tiefsten Punkt der Bahn - genau hm oberhalb der Wasseroberfläche - reist das Seil! center tikzpicturescale. % Ufer links draw very thick -- ++ -- ++-.; draw very thick dashed -. -- ++ -; % Ufer rechts draw very thick -. -- ++ . -- ++; draw very thick dashed -. -- ++ ; % Wasser draw fillCyan drawnone -. rectangle ++ -; % Baum draw brown fillbrown! .. -- ++ -- ++ -..--++ .. -- ++ -. -- ++ -- ++ . -- ++ -.-. -- ++ -.-.-- ++ -.-. -- ++ .. -- ++ -. -- ++ -.-. -- ++ -. -- cycle; % Seil draw very thick Dandelion -- ++ ..; % Tarzan draw grayfillgray +.*+.*. circle .cm; draw thick .. -- ++ .*.*.; draw thick .. -- ++ .*.-.* -- ++ .*.-.*; draw thick .+.*.+.*. -- ++ .*.-.*; draw thick .+.*+..+.*.+. circle .cm; % Hilfslinien draw dashed rotate around:.. -- node right fns l ++ ..; draw densely dashedfillwhiterotate around:.. +.*+.*. circle .cm; % Winkel draw .. arc :-:; node at .. tiny varphi; % Höhe h draw - .-. -- node right fns h ++ .; tikzpicture center enumerate item Wie gross ist Tarzans Geschwindigkeit in dem Augenblick in welchem das Seil reisst? Pkt. item Welche Kraft hält also das Seil maximal aus? Pkt. item Wie weit von linken Ufer entfernt landet Tarzan auf der Wasseroberfläche? Pkt. item Tarzan will nun senkrecht zum retten Ufer schwimmen. In stehen Gewässer kann er mit v_T .m/s schwimmen. Der ``crocodile river'' in dem er sich nun befindet fliesst mit v_F m/s senkrecht aus der Blattebene hinaus. In welche Richtung zur Horizontalen muss Tarzan nun schwimmen damit er sich senkrecht zum Ufer bewegt? Skizze und rechnerische Lösung verlangt. Pkt. enumerate

Solution:
enumerate item Energiebilanz lautet: E_pot mgh fracmv^ E_kinqquad text Pkt. wobei h l-cosvarphi Pkt.. Daraus erhalten wir die Geschwindigkeit: v sqrtgl-cosvarphi approx . qquad text Pkt. item Die Bewegungsgleichung am tiefsten Punkt lautet: F_textres F_S - F_g ma_Z. qquad text Pkt. Somit ist die Seilkraft mit a_Z v^/l: F_S mv^/l + mg approx N. qquad text Pkt. item Die Flugbahn entspricht einem horizontalen Wurf d.h. die Flugzeit ermittelt sich aus dem freien Fall: h fracgt^ Rightarrow t sqrtfrachg approx .s. qquad text Pkt. Die horizontale Weite entspricht einer gleichförmigen Bewegung: x_W vt approx .m. qquad text Pkt. Die gesuchte Weite vom linken Ufer entfernt ist: x_tot lsinvarphi + x_W approx .m.qquad text Pkt. item Pkt. center tikzpicture % Geschwindigkeitsdreieck draw dashedthick- -- node above vec v_textres.; draw thick- -- node left vec v_textF-; draw thick- - -- node rightxshiftmm vec v_textT.; % Winkel draw dashed -.- -- ++ .; draw .- arc ::.; node at .-. alpha; tikzpicture center Rechnerisch erhalten wir: sinalpha fracv_Fv_T Rightarrow alpha approx grad. qquad text Pkt. enumerate