Exercise:
Ein Zylinder stehe bei A auf einer schiefen Ebene mit der Steigung von .%. Bestimmen Sie für diesen Zylinder in den folgen Teilaufgaben jeweils die Beschleunigung und die Geschwindigkeit am Punkt B falls der Zylinder ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelassen wird und die Strecke overlinetextAB m misst. %% Schiefe Ebene center tikzpicturescale. % Boden draw line widthpt -- ++ ; % Ebene draw thickrotate around -: -. -- ; % Punkt A draw rotate around -: -. node xshift-mmbelowyshift.mm fns A -- ; % Punkt B draw rotate around -: .-. node xshift-mmbelowyshift.mm fns B -- .; % Strecke s draw -rotate around -: -. -- node below fns overlinetextAB m .-.; % Zylinder draw fillgray!rotate around -: . circle .cm; draw fillblackrotate around -: . circle .cm; % Radius draw -rotate around -: . -- node above fns r ..; % Winkel draw arc ::; node at .. fns varphi; tikzpicture center enumerate item Der Zylinder gleitet reibungsfrei hinunter. ~Pkte item Der Zylinder gleitet mit Reibung mu_G . hinunter. tfrac~Pkte item Der Zylinder rollt ohne zu gleiten hinunter. ~Pkte item Am Punkt B der schiefen Ebene wird eine Rampe angebracht mit einem Abwurfwinkel von vartheta degree. Beachten Sie dass der Punkt C und der Punkt B auf gleicher Höhe sind. tfrac~Pkte center tikzpicturescale. % Boden %draw line widthpt -- ; % Punkt B draw rotate around -: .-. node xshift-mmbelowyshift.mm fns B -- .; % Punkt C draw rotate around :. .-. node belowyshift.mm fns C -- .; % Rampe draw thick rotate around -: - -- ; draw thick arc ::.; draw thickrotate around :.. .. -- ..; % Winkel draw -. arc ::.; node at .. fns vartheta; % Hilfsline draw dashed .-. -- .-.; draw thick .. -- .; draw thick dashed . -- ..; tikzpicture center Bestimmen Sie für den Fall bei bf a. mit Herleitung enumerate item die maximale Flughöhe des Zylinders bzgl. dem Punkt B und item die Wurfweite des Zylinders bzgl. dem Punkt C an dem der Körper auf der Anhöhe landet. enumerate Vernachlässigen Sie jegliche Verluste währ dem Flug und gehen Sie hier von einem Massenpunkt aus. Falls Sie bf a. nicht gelöst haben verwen Sie für die Geschwindigkeit am Punkt B v_B . enumerate

Solution:
Für alle Teilaufgaben braucht man den Winkel. Es gilt varphi arctan .% apx degree. qquad tfractextP. Weiter soll ein Koordinaten System für bf a. - bf c. so gewählt werden dass die x-Richtung parallel zur Ebene und nach unten und die y-Richtung senkrecht dazu nach oben zeigen. enumerate item Da das System ohne Reibung ist gilt F_res F_gx ma myRarrow gsinvarphi a apx .^ qquad textP. und daraus folgt die Endgeschwindigkeit direkt aus v_B^ v_^ + as myRarrow v_B sqrtas apx . qquad tfractextP. sofern overlinetextAB s ist. item Nun ist Reibung im Spiel und damit gilt für die x Komponente F_resx F_gx - F_R F_gx - mu_GF_N ma' qquad tfractextP. und für die y Komponente gilt: F_resy F_N - F_gy myRarrow F_N mgcosvarphi. qquad tfractextP. Damit erhalten wir: mgsinvarphi - mu_Gmgcosvarphi ma' myRarrow a' gsinvarphi - mu_Gcosvarphi apx .^ qquad textP. und v'_B sqrta's apx . qquad tfractextP. item Da der Körper rollt geht das nur mit Reibung. Es gilt: F_resx F_gx - F_R ma''qquad tfractextP. Da der Körper rollt muss ein Drehmoment auf ihn wirken d.h. M_res F_R r J alpha qquad tfractextP. wobei Jfracmr^ das Trägheitsmoment eines Zylinders und alpha fraca''r die Winkelbeschleunigung sind tfrac~P.. Es gilt: F_R r fracmr^fraca''r myRarrow F_R fracma''. qquad tfractextP. Damit erhalten wir: mgsinvarphi - fracma'' ma'' myRarrow a'' fracgsinvarphi apx .^. qquad tfractextP. und v''_B sqrta''s apx . qquad tfractextP. item Der Massenpunkt vollzieht natürlich einen schiefen Wurf mit der Anfangsgeschwindigkeit von v_ v_B. In Klammer für v_ . enumerate item Die Bewegung in vertikaler Richtung neu y-Richtung ist eine gleichmässig beschleunigte Bewegung und damit gilt: yt v_sinvartheta t - fracg t^. qquad tfractextP. Für die gesamte Flugzeit T gilt yT und daraus folgt: v_sinvartheta T - fracg T^ myRarrow T_ und T_ fracv_sinvarthetag apx .s textoder .s. qquad tfractextP. Damit ist die maximale Höhe bei T_/ erreicht da der schiefe Flug ohne Anfangshöhe symmetrisch ist es gilt: y_w yT_/ v_sinvartheta fracT_ - fracgleftfracT_right^ apx .mtextoder .m. qquad textP. item Die horizontale Bewegung neu x-Richtung ist eine gleichförmig geradlinige Bewegung und damit gilt: xt v_cosvartheta t myRarrow x_W xT_ v_cosvartheta T_ apx .mtextoder .m. qquad tfractextP. enumerate enumerate