Transformation in Torus-Koordinaten

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Exercise:
Gegeben ist die Transformation von kartesischen Koordinaten xyz in Toruskoordinaten rtp: * pmatrix x y z pmatrix pmatrix cos t sin t pmatrix + r pmatrix cos t cos p sin t cos p sin p pmatrix * Gib die Jacobi-Matrix J_f dieser Koordinatentransformation an und berechne deren Determinante.

Solution:
Die Jacobi-Matrix sieht wie folgt aus: * J_f pmatrix cos tcos p & -sin t -rsin t cos p & -rcos t sin p sin t cos p & cos t + rcos t cos p & -rsin t sin p sin p & & r cos p pmatrix * Die Determinante dieser Matrix ist: * J_f sin p pmatrix sin t -rsin t cos p & -rcos t sin p cos t + rcos t cos p & -rsin t sin p pmatrix + r cos p pmatrix cos tcos p & sin t -rsin t cos p sin t cos p & cos t + rcos t cos p pmatrix sin p + r cos p r + rcos p * Insgesamt ergibt sich: J_f r + rcos p Die Koordinatentransformation für Integration sieht also so aus: ddxddyddz rightarrow r + rcos p ddrddtddp
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Exercise:
Gegeben ist die Transformation von kartesischen Koordinaten xyz in Toruskoordinaten rtp: * pmatrix x y z pmatrix pmatrix cos t sin t pmatrix + r pmatrix cos t cos p sin t cos p sin p pmatrix * Gib die Jacobi-Matrix J_f dieser Koordinatentransformation an und berechne deren Determinante.

Solution:
Die Jacobi-Matrix sieht wie folgt aus: * J_f pmatrix cos tcos p & -sin t -rsin t cos p & -rcos t sin p sin t cos p & cos t + rcos t cos p & -rsin t sin p sin p & & r cos p pmatrix * Die Determinante dieser Matrix ist: * J_f sin p pmatrix sin t -rsin t cos p & -rcos t sin p cos t + rcos t cos p & -rsin t sin p pmatrix + r cos p pmatrix cos tcos p & sin t -rsin t cos p sin t cos p & cos t + rcos t cos p pmatrix sin p + r cos p r + rcos p * Insgesamt ergibt sich: J_f r + rcos p Die Koordinatentransformation für Integration sieht also so aus: ddxddyddz rightarrow r + rcos p ddrddtddp
Contained in these collections:
  1. Determinante von Jacobi-Matrix by TeXercises
    2 | 2
Attributes & Decorations
Tags
determinante, integralrechnung, koordinatentransformation, lineare algebra, mathematik, matrix
Content image
Difficulty
(4, default)
Points
5 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Calculative / Quantity
Creator uz
Decoration