Unendliche Kette II
Question
Solution
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The following quantities appear in the problem:
elektrischer Widerstand \(R\) / Federkonstante \(D\) /
The following formulas must be used to solve the exercise:
\(\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \quad \) \(\frac{1}{D} = \frac{1}{D_1} + \frac{1}{D_2} \quad \) \(R = R_1 + R_2 \quad \)
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Exercise:
Der Beginn einer unlich ausgedehnten Kette von Widerständen ist in der untenstehen Abbildung gezeigt. Bestimme den Ersatzwiderstand zwischen den Punkten a und b. centernoindent tikzpicturescale. nodeabove at b; nodebelow at a; % nodeabove at a'; % nodebelow at - b'; node at R; node at R; node at R; node at R; node at R; node at R; node at rotate R; node at rotate R; node at rotate R; drawthick- --; drawthick- --; drawthick --; drawthick --; drawthick --; drawthick --; drawthick --; drawthick --; drawthick --; drawthick --; drawthick --; drawthick --; drawthick --; drawthick --; drawthick . rectangle .; drawthick . rectangle .; drawthick . rectangle .; drawthick -. rectangle .; drawthick . rectangle .; drawthick -. rectangle .; drawthick . rectangle .; drawthick -. rectangle .; drawthick . rectangle .; tikzpicture center
Solution:
Die unliche Kette ist auch noch unlich wenn man das erste Glied weglässt. Benennt man den Ersatzwiderstand der unlichen Kette mit R' so führt das auf eine Beziehung der unlichen Kette und dieser Kette ohne das erste Glied; welche auch unlich ist und auch R' als Ersatzwiderstand hat. Zu lösen ist dann die folge quadratische Gleichung: R' left fracR+R'+R +fracR right^- fracRR'+R^R+R' R'^+RR'-R^ Sie hat die folgen Lösungen: R'_ frac-Rpm sqrtR^+R^ -R pm sqrtR^ pmsqrt-R Es ist nur die positive Lösung sinnvoll.
Der Beginn einer unlich ausgedehnten Kette von Widerständen ist in der untenstehen Abbildung gezeigt. Bestimme den Ersatzwiderstand zwischen den Punkten a und b. centernoindent tikzpicturescale. nodeabove at b; nodebelow at a; % nodeabove at a'; % nodebelow at - b'; node at R; node at R; node at R; node at R; node at R; node at R; node at rotate R; node at rotate R; node at rotate R; drawthick- --; drawthick- --; drawthick --; drawthick --; drawthick --; drawthick --; drawthick --; drawthick --; drawthick --; drawthick --; drawthick --; drawthick --; drawthick --; drawthick --; drawthick . rectangle .; drawthick . rectangle .; drawthick . rectangle .; drawthick -. rectangle .; drawthick . rectangle .; drawthick -. rectangle .; drawthick . rectangle .; drawthick -. rectangle .; drawthick . rectangle .; tikzpicture center
Solution:
Die unliche Kette ist auch noch unlich wenn man das erste Glied weglässt. Benennt man den Ersatzwiderstand der unlichen Kette mit R' so führt das auf eine Beziehung der unlichen Kette und dieser Kette ohne das erste Glied; welche auch unlich ist und auch R' als Ersatzwiderstand hat. Zu lösen ist dann die folge quadratische Gleichung: R' left fracR+R'+R +fracR right^- fracRR'+R^R+R' R'^+RR'-R^ Sie hat die folgen Lösungen: R'_ frac-Rpm sqrtR^+R^ -R pm sqrtR^ pmsqrt-R Es ist nur die positive Lösung sinnvoll.