Exercise:
Jemand sieht in einem geparkten Auto wart in dessen Rückspiegel mit rO Krümmungsradius einen sich nähernden Velofahrer. Wie schnell ist dieser über den Spiegel betrachtet falls er sich in Wirklichkeit gO entfernt befindet und mit vO bewegt?

Solution:
Der Rückspiegel ist ein konvexer Spiegel mit Krümmungsradius rrO. Mit der Vorzeichenkonvention dass Abstände vor dem Spiegel Gegenstandsseite positiv gezählt werden hat ein Wölbspiegel die negative Brennweite f -fracr -fracrO center tikzpicturelatex scale. % Spiegel als leicht gewölbte Kurve Kreisbogen um C drawvery thick blue domain-.:. samples smooth plot -+sqrt-x*xx; % optische Achse drawgray -.--.; % Krümmungsmittelpunkt C und Brennpunkt F filldrawblack - circle .pt; nodebelow at --. C; filldrawblack - circle .pt; nodebelow at --. F; filldrawblack circle .pt; nodebelow at -. O; % Gegenstand Velofahrer Pfeil nach oben draw- thick red --; noderight at Velofahrer; % Strahl : parallel zur Achse reflektiert durch F drawgreen!!black --; drawgreen!!black --.; drawgreen!!black dashed ----.; % Strahl : Richtung Krümmungsmittelpunkt C reflektiert in sich selbst drawgreen!!black --.; drawgreen!!black dashed .---; % virtuelles Bild draw- thick red dashed -.---..; nodeleft at -.. virtuelles Bild; % Abstandsmarkierungen draw- colororange -.---. nodemidway below gO; draw- colororange --.---. nodemidway below rO; draw- colororange -.-.---. nodemidway below b; tikzpicture center Die gestrichelten Linien sind die rückwärtigen Verlängerungen der reflektierten Strahlen; ihr Schnittpunkt liefert das virtuelle aufrechte verkleinerte Bild -- typisch für einen Wölbspiegel unabhängig vom Abstand des Gegenstands. Aus der Spiegelgleichung fracg+fracbfracf folgt: bg fracfgg-f -fracrgg+r Der Velofahrer nähert sich d.h. sein realer Abstand nimmt mit der Rate fracdd gdd t v -vO ab. Die Bildposition folgt über die Kettenregel: left|fracdd bdd tright| left|fracdd bdd gright|left|fracdd gdd tright|. Ableitung von bg nach g: fracdd bdd g -fracf^g-f^ -fracr^g+r^ Damit ergibt sich für die Geschwindigkeit des Bildes Betrag: v_textBild left|fracdbdgright| vO fracrO^g+rO^vO. Für den gegebenen Abstand ggO folgt schliesslich boxedv_textBild fracrO^vOleftgO+rOright^. Da typischerweise rO ll gO ist ist v_textBild ll vO: Das Bild im Wölbspiegel bewegt sich viel langsamer als der reale Velofahrer -- ein Grund weshalb man die tatsächliche Annäherungsgeschwindigkeit im Rückspiegel leicht unterschätzt.