Exercise:
Wie gross ist der Abstand zwischen dem Punkt PPxX|PyX|PzX und der Ebene mathcalE: Ex x +Ey y +Ez z Eih?

Solution:
tdplotsetmaincoords center tikzpicturelatex scale. tdplot_main_coords tikzsetscaled unit vectors. filldrawcolorblack fillyellow!!white opacity. scaled cs -------.---.--cycle; foreach x in --... drawcolorgray scaled cs x---x; foreach y in --... drawcolorgray scaled cs -y--y; drawcolorgreen!!black- scaled cs --- noderight small bmx; drawcolorgreen!!black- scaled cs --- nodeabove small bmy; drawcolorgreen!!black- scaled cs --- nodeleft small bmz; shadedrawscaled cs plot only marks mark* mark sizept mark optionsfillred!!yellow coordinatesPxXPyXPzX noderightred!!yellow tiny PPx|Py|Pz; shadedrawscaled cs plot only marks mark* mark sizept mark optionsfillblue coordinatesFxXFyXFzX noderightblue tiny FFxX|FyX|FzX; draw- stealth colorred thick scaled cs PxXPyXPzX--FxXFyXFzX nodemidway right tiny vec d; tikzpicture center bf . Lösungsweg Lotfusspunktverfahren Zunächst muss der Normalenvektor der Ebene mathcalE gefunden bzw. abgelesen werden: mathcalE: Ex x +Ey y +Ez z Eih vec n pmatrix Ex Ey Ez pmatrix Anschliess wird die Lotgerade welche senkrecht zur Ebene steht und durch S verläuft ermittelt: ell:vec X vec S + lambda vec n hspace.cm; lambda in mathbbR ell:vec X pmatrix Px Py Pz pmatrix + lambda pmatrix Ex Ey Ez pmatrix hspace.cm; lambda in mathbbR Durch Schneiden dieser Lotgerade mit der Ebene erhält man den Lotfusspunkt: Ex Px + Ex lambda + Ey Py + Ey lambda + Ez Pz + Ez lambda ZX + LX lambda LX lambda -ZX lambda -lX lambda kann nun in die Gleichung eingesetzt werden wodurch man die Koordinaten des Lotfusspunktes ermittelt: ell:vec X pmatrix Px Py Pz pmatrix - lX pmatrix Ex Ey Ez pmatrix hspace.cm; lambda in mathbbR F FxX|FyX|FzX Nun muss man nur noch den Abstand zwischen P und F bestimmen: vec d vec s_ - vec r_ pmatrix x_F y_F z_F pmatrix - pmatrix x_P y_P z_P pmatrix pmatrix FxX FyX FzX pmatrix - pmatrix PxX PyX PzX pmatrix pmatrix DX EX FX pmatrix |vec d| sqrtx_F-x_P^+y_F-y_P^+z_F-z_P^ sqrtFxX-PxX^+FyX-PyX^+FzX-PzX^ sqrtDX^+EX^+FX^ G bf . Lösungsweg Hessesche Normalform Hierbei setzt man die Werte der Aufgabe einfach in die folge Lösungsformel ein: d left |fracax+by+cz+dsqrt a^+b^+c^ right | d left |fracEx x+Ey y+Ez z+Eihsqrt Ex^+Ey^+Ez^ right | fracZXsqrt LX G