Exercise:
Vorgegeben ist ein Punkt Ppa/pb/pc und die Ebene varepsilon. Berechne den Abstand d des Punktes zur Ebene mithilfe des Spat- und Vektorprodukts. varepsilon:vecxpmatrixxyzpmatrixpmatrixpgfmathprnumberpxpgfmathprnumberpypgfmathprnumberpzpmatrix+lambdapmatrixpgfmathprnumberqxpgfmathprnumberqypgfmathprnumberqzpmatrix+phipmatrixpgfmathprnumbertxpgfmathprnumbertypgfmathprnumbertzpmatrix

Solution:
Zuerst soll der Normalvektor der Ebene mithilfe des Vektorprodukts berechnet werden: vecnpmatrixpgfmathprnumberqxpgfmathprnumberqypgfmathprnumberqzpmatrixtimespmatrixpgfmathprnumbertxpgfmathprnumbertypgfmathprnumbertzpmatrix pmatrixpgfmathprnumbernxpgfmathprnumbernypgfmathprnumbernzpmatrix In der Ebenengleichung wird der Punkt Apx/py/pz gegeben. Dieser ist Teil der Ebene. Der Vektor von diesem Punkt zum gegebenen Punkt P wird folgermassen berechnet: vvtextAPvvtextA-vvtextP pmatrixpgfmathprnumberpxpgfmathprnumberpypgfmathprnumberpzpmatrix-pmatrixpgfmathprnumberpapgfmathprnumberpbpgfmathprnumberpcpmatrix pmatrixpgfmathprnumberaapgfmathprnumberbbpgfmathprnumberccpmatrix Diese beiden Vektoren können in die Abstandsformel eingefügt werden: textdfracleft|vecp-vecavecnright|left|vecnright| fracleft|vvtextAPvecnright|left|vecnright| fracleft|pmatrixpgfmathprnumberaapgfmathprnumberbbpgfmathprnumberccpmatrixpmatrixpgfmathprnumbernxpgfmathprnumbernypgfmathprnumbernzpmatrixright|left|pmatrixpgfmathprnumbernxpgfmathprnumbernypgfmathprnumbernzpmatrixright| fracleft|pmatrixpgfmathprnumberoapgfmathprnumberobpgfmathprnumberocpmatrixright|left|pmatrixpgfmathprnumbernxpgfmathprnumbernypgfmathprnumbernzpmatrixright| fracpgfmathprnumberoopgfmathprnumberuu textdpgfmathprnumberd center tikzpicturex-.cm-.cmycmcm zcmcm scale axis z buffersort view xminpa- xmaxpa+ yminpb- ymaxpb+ zminpc- zmaxpc+ xlabel x ylabel y zlabel z %Ebene addplot z buffersort colormap/viridis domain-: domain y-: samples samples y surf x * qx + y * tx + pa x * qy + y * ty + pb x * qz + y * tz + pc; %Punkt addplot+ z buffersort scatter/use mapped colorball colorred scatter only marks markball mark sizept pa pb pc; addplot z buffersort red domain: samples x * qx + pa x * qy + pb x * qz + pc; addplot z buffersort red domain: samples x * tx + pa x * ty + pb x * tz + pc; draw fillblack papb pc circlept node right P; axis tikzpicture center