Exercise:
Alice und Bob sind Zwillinge. Alice reist mit einer Geschwindigkeit von .c zum Stern Alpha Centauri welcher vier Lichtjahre von der Erde entfernt ist und kehrt dann sofort wieder zurück. Beide Zwillinge sen dem jeweils anderen im Abstand von .d in ihrem eigenen System gemessen ein Lichtsignal. abcliste abc Mit welcher Frequenz erhält Bob auf der Erde Signale währ sich Alice von ihm wegbewegt? abc Wie viele Signale erhält Bob mit dieser Frequenz? abc Wie viele Signale erhält Bob insgesamt bevor Alice zurückkehrt? abc Mit welcher Frequenz erhält Alice Signale wenn Bob sich von ihr enfernt? abc Wie viele Signale erhält Alice mit dieser Frequenz? abc Wie viele Signale erhält Alice insgesamt? abc Wer von den beiden ist nach Alice Rückkehr jünger und um wie viele Jahre? abcliste

Solution:
abcliste abc Aus Bob's Sicht set Alice in den Zeitervallen Delta t_B gammaDelta t_A . .a .a ein Signal aus. Das ist aber nicht der Zeitabstand den Bob misst weil sich Alice von Signal N bis Signal N+ weiter bewegt hat und damit das Signal N+ länger braucht als das Signal N um bei Bob ankommen und zwar um Delta t_+ fracDelta s_Ac fracv Delta t_Bc .a Somit empfängt Bob im Zeitervall Delta t_B^leftarrow Delta t_B + Delta t_+ .a ein Signal von Alice. abc Für Alice beträgt die Distanz zu Alpha Centauri ell_ fracellgamma .ly wofür sie t_ fracell_v .a braucht. Da sie alle .a ein Signal verset wird sie also auf dem Hinweg N_A' fract_Delta t_A Signale versen; umgekehrt heisst das auch dass Bob genau so viele Signale empfangen wird währ Alice sich auf dem Hinweg befindet. abc Da für Alice sowohl Hin- als auch Rückreise .a dauern und sie auf beiden alle .a ein Signal verschickt set sie auf beiden Wegen Signale in Richtung Bob; dieser wird also insgesamt N_A N_A' numpr Signale von Alice erhalten. abc Da die Situation symmetrisch ist gelten die Überlegungen aus Teilaufgabe a auch für Alice; sie erhält in den Zeitervallen Delta t_A^leftarrow .a Signale von Bob genauso wie Bob auch von ihr. abc Da Alice auf dem Hinflug von Bob alle .a ein Signal erhält und ihr Flug .a dauert wird sie also N_A^rightarrow frac.a.a Signale erhalten. abc Aus Alice' Sicht erhält sie Bob im Zeitervall Delta t_A gammaDelta t_B . .a .a ein Signal. Da sie aber Bob entgegen fliegt braucht das Signal N+ weniger lange also das Signal N um bei ihr anzukommen und zwar wie auch in a schon berechnet Delta t_- fracDelta s_Ac fracv Delta t_Bc .a weniger lang. Insgesamt erhält sie also im Zeitervall Delta t_A^leftarrow Delta t_A + Delta t_- .a ein Signal von Bob. Da ihre Reise .a dauert sind das N_A^leftarrow frac.a.a numpr auf dem Rückflug. Insgesamt erhält Alice also numpr Signale. abc Anhand der empfangenen Signale kann nun einfach ausgerechnet werden wer wie stark gealtert hat: itemize item Alice: Signale alle .a auf dem Hinflug und numpr Signale alle .a auf dem Rückflug; total also bf .a gealtert. Oder anders: Bob empfängt numpr Signale alle .a. item Bob erhält von Alice numpr Signale welche sie alle .a verset; er ist also um bf .a gealtert. itemize abcliste