Exercise:
Aus einem Lauf mit einer Länge von mm werde aus einer Höhe von .m über dem Boden unter einem Winkel von ang zur Horizontalen ein Projektil siehe Skizze nach oben abgefeuert. Es habe eine Mün-dungs-gschwin-dig-keit von v_meterpersecond. Der Lauf sei ausserdem so ausgearbeitet dass sich das Projektil in ihm um ang dreht und dadurch einen Drall erhält. Es wird davon ausgegangen dass das Projektil im Lauf sowohl bezüglich Translation als auch Rotation eine gleichmässige Beschleunigung erfahre. center tikzpicturelatex %pfahl drawdashedcolorgray - arc -::. and ;% right half of the left ellipse drawsemithick - arc ::. and ;% left half of the left ellipse drawsemithick -- ;% bottom line drawsemithick - -- -;% top line drawdashedcolorgray - arc -::. and ;% right half of the left ellipse drawsemithick - arc ::. and ;% left half of the left ellipse drawsemithick - arc -:: and ; %drehachse drawdashed --; drawdashed -.---; drawdotted ---.; % koordinatenkreuz % drawdotted ---; % drawdotted ---; % drawdotted -.--.; % drawdotted .--.; % mündungsgeschwindigkeit drawvery thick -latex --; node at .. vec v_; % winkelgeschwindigkeit drawthick- .-. arc ::. and .; node at .. omega_; %beschriftung x-achse drawthick colorgreen!!black |- -.---.; drawthick colorgreen!!black |- -.---.; drawthick colorgreen!!black |- -.---.; defx-. nodecolorgreen!!black at x ; nodecolorgreen!!black at x ; nodecolorgreen!!black at x .; nodecolorgreen!!black at -. xmboxmm; %beschriftung y-achse defx-. drawthick colorgreen!!black |- x---x; drawthick colorgreen!!black |- x--x.; defx-. nodecolorgreen!!black at x- ; nodecolorgreen!!black at x ; nodecolorgreen!!black at -. ymboxmm; %skizze nach links verschieben drawcolorwhite --; tikzpicture center abcliste abc Berechne die Winkelgeschwindigkeit omega_ des Projektils beim Verlassen des Laufes. abc Berechne das Trägheitsmoment des Projektils bestehed aus einem Zylinder mit einer aufgesetzten Halbkugel siehe Skizze. Es hat eine Masse von .g welche homogen auf den ganzen Körper verteilt ist. abc Berechne die Reichweite des Projektils unter den angegebenen Abschussdaten. Allfällige Reibungseffekte sind zu vernachlässigen. abcliste

Solution:
abcliste itema Die Zeit welche sich das Geschoss im Lauf befindet ist gegeben durch: t fracsv_ .s Daraus kann man die Winkelgeschwindigkeit errechnen: omega_ fracgammat .eradianpersecond abc Das Volumen des Projektils ist: V V_Z + V_K pi r^ h + frac frac pi r^ pi r^ + frac pi r^ Daraus ergibt sich die Verteilung der Masse .g auf die beiden Teilkörper: m m_Z + m_K .g + .g .g Somit kann nun das Trägheitsmoment berechnet werden: I I_Z + I_K frac m_Z r^ + frac frac m_K r^ .kgm^ + .kgm^ .kgm^ abc Die Flugzeit des Geschosses wird durch seine vertikale Bewegung bestimmt. Sie ist gegeben durch die folge quadratische Gleichung: frac-gt^ + v_uparrow t + s_ frac-gt^ + v_ sinbeta t + s_ Diese Gleichung hat die folgen Lösungen: t_ -.s t_ .s Nur die zweite ist physikalisch sinnvoll. Währ dieser Zeit fliegt das Geschoss horizontal mit -- wenn Reibung vernachlässigt wird -- unveränderter Geschwindigkeit weiter. Dadurch ergibt sich die folge Reichweite: s_x v_rightarrow t v_ cosbeta t m abcliste