Billard mit drei Kugeln
Question
Solution
Short
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The following quantities appear in the problem:
Energie \(E\) / Winkel \(\theta\) / Impuls \(p\) /
The following formulas must be used to solve the exercise:
\(\cos\alpha = \dfrac{b}{c} \quad \) \(\sum E_{\scriptscriptstyle\rm tot} \stackrel{!}{=} \sum E_{\scriptscriptstyle\rm tot}' \quad \) \(\sum p_{\scriptscriptstyle\rm tot} \stackrel{!}{=} \sum p_{\scriptscriptstyle\rm tot}' \quad \) \(\sin\alpha = \dfrac{a}{c} \quad \)
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Exercise:
Bei dem unten abgebildeten Billard-Stoss steht die Richtung des einlaufen Spielballs senkrecht auf der Verbindungslinie der beiden angespielten Objektbälle die sich berühren. Die einlaufe Kugel treffe diese beiden Kugeln gleichzeitig. Berücksichtige die Symmetrie des Problems sowie die Prinzipien der Energi und Impulserhaltung und bestimme die Endgeschwindigkeiten der drei Kugeln. center tikzpicturescale. BillardSpielball.; Billardkugel..green!!black; Billardkugel-..blue; drawdashed .--; drawcolorgreen!!black-latex .--.; tikzpicture center
Solution:
Wir bezeichnen die Geschwindigkeit des weissen Balls vor nach dem Stoss mit vec v vec v' und den Impuls mit vec p vec p'. Die Geschwindigkeiten der Objektbälle nach dem Stoss bezeichnen wir mit vec w'_ und vec w'_ die Impulse entsprech mit vec q'_ und vec q'_. Die Auslaufwinkel der Objektbälle seien alpha_ und alpha_. Aus der Energi und der Impulserhaltung folgen die Gleichungen minipagec.textwidth al ptot &mustbe ptot' vec p vec p' + vec q_' + vec q_' mmqtyv_xv_y mmqtyv_x'v_y' + mmqtyw_x'w_y' +mmqtyw_x'w_y' mqtyv mqtyv' + mqtyw_'cosalpha_w_'sinalpha_ + mqtyw_'cosalpha_w_'sinalpha_ minipage minipagec.textwidth al Etot &mustbe Etot Ekin Ekin fracmv^ fracmv'^ + frac mw_'^ + frac mw_'^ v^ v'^ + w_'^ + w_'^. minipage Aus Symmetriegründen müssen die Geschwindigkeitsbeträge der Objektbälle gleich gross sein wir nennen sie also neu w' w_' w_'. Ausserdem müssen die Richtungen der Objektbälle mit der x-Achse den gleich grossen Winkel einschliessen deshalb können wir auch alpha alpha_ -alpha_ schreiben. Bei der Berührung bilden die Mittelpunkte der drei Bälle ein gleichseitiges Dreieck. center tikzpicturescale. BillardSpielball..; Billardkugel..green!!black; Billardkugel-..blue; drawdashed --; drawdashed -.--; drawthick colorred .--.---.--.; tikzpicture center Deshalb ist alpha degree. Das liefert dann das folge Gleichungssystem mit den zwei Unbekannten v' und w': v v' + w'cosalpha labelimp v^ v'^ + w'^. labelen Aus Erfahrung wissen wir dass Umstellen und Quadrieren von eqrefimp helfen kann: al qtyv-w'cosalpha^ v'^. Das subtrahieren wir jetzt von eqrefen und lösen nach w' auf al vw'cosalpha - w'^cos^alpha w'^ vcosalpha - w'cos^alpha w' vcosalpha w'+cos^alpha w' fracvcosalpha+cos^alpha. Setzen wir das Ergebnis in eqrefimp ein können wir nach v' auflösen: al v v' + fracvcosalpha+cos^alpha cosalpha v' + fracvcos^alpha+cos^alpha v' fracv + vcos^alpha - vcos^alpha+cos^alpha fracv-cos^alpha+cos^alpha.
Bei dem unten abgebildeten Billard-Stoss steht die Richtung des einlaufen Spielballs senkrecht auf der Verbindungslinie der beiden angespielten Objektbälle die sich berühren. Die einlaufe Kugel treffe diese beiden Kugeln gleichzeitig. Berücksichtige die Symmetrie des Problems sowie die Prinzipien der Energi und Impulserhaltung und bestimme die Endgeschwindigkeiten der drei Kugeln. center tikzpicturescale. BillardSpielball.; Billardkugel..green!!black; Billardkugel-..blue; drawdashed .--; drawcolorgreen!!black-latex .--.; tikzpicture center
Solution:
Wir bezeichnen die Geschwindigkeit des weissen Balls vor nach dem Stoss mit vec v vec v' und den Impuls mit vec p vec p'. Die Geschwindigkeiten der Objektbälle nach dem Stoss bezeichnen wir mit vec w'_ und vec w'_ die Impulse entsprech mit vec q'_ und vec q'_. Die Auslaufwinkel der Objektbälle seien alpha_ und alpha_. Aus der Energi und der Impulserhaltung folgen die Gleichungen minipagec.textwidth al ptot &mustbe ptot' vec p vec p' + vec q_' + vec q_' mmqtyv_xv_y mmqtyv_x'v_y' + mmqtyw_x'w_y' +mmqtyw_x'w_y' mqtyv mqtyv' + mqtyw_'cosalpha_w_'sinalpha_ + mqtyw_'cosalpha_w_'sinalpha_ minipage minipagec.textwidth al Etot &mustbe Etot Ekin Ekin fracmv^ fracmv'^ + frac mw_'^ + frac mw_'^ v^ v'^ + w_'^ + w_'^. minipage Aus Symmetriegründen müssen die Geschwindigkeitsbeträge der Objektbälle gleich gross sein wir nennen sie also neu w' w_' w_'. Ausserdem müssen die Richtungen der Objektbälle mit der x-Achse den gleich grossen Winkel einschliessen deshalb können wir auch alpha alpha_ -alpha_ schreiben. Bei der Berührung bilden die Mittelpunkte der drei Bälle ein gleichseitiges Dreieck. center tikzpicturescale. BillardSpielball..; Billardkugel..green!!black; Billardkugel-..blue; drawdashed --; drawdashed -.--; drawthick colorred .--.---.--.; tikzpicture center Deshalb ist alpha degree. Das liefert dann das folge Gleichungssystem mit den zwei Unbekannten v' und w': v v' + w'cosalpha labelimp v^ v'^ + w'^. labelen Aus Erfahrung wissen wir dass Umstellen und Quadrieren von eqrefimp helfen kann: al qtyv-w'cosalpha^ v'^. Das subtrahieren wir jetzt von eqrefen und lösen nach w' auf al vw'cosalpha - w'^cos^alpha w'^ vcosalpha - w'cos^alpha w' vcosalpha w'+cos^alpha w' fracvcosalpha+cos^alpha. Setzen wir das Ergebnis in eqrefimp ein können wir nach v' auflösen: al v v' + fracvcosalpha+cos^alpha cosalpha v' + fracvcos^alpha+cos^alpha v' fracv + vcos^alpha - vcos^alpha+cos^alpha fracv-cos^alpha+cos^alpha.