Bimetallstreifen
Question
Solution
Short
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Need help? Yes, please!
The following quantities appear in the problem:
Länge \(\ell\) / Temperatur \(T\) / Längenausdehnungskoeffizient \(\alpha\) /
The following formulas must be used to solve the exercise:
\(\ell = \ell_0 \cdot (1+ \alpha \cdot \Delta\vartheta) \quad \)
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Exercise:
Ein Stahl-Zink-Bimetallstreifen ist bei Zimmertemperatur cel gerade vgl. Abb.. Seine Länge beträgt scm die Dicke des Zink- und des Stahl-Streifens betragen je mm. Um welchen Winkel varphi verbiegt sich dieser Bimetallstreifen wenn er auf cel erhitzt wird? center tikzpicture %% Bimetallstreifen % Stahl draw blue!fillblue! node leftyshift.mm tiny Stahl rectangle .; % Zink draw orange!fillorange! . node leftyshift.mm tiny Zink rectangle .; % Beschriftung draw - -. -- node aboveyshift-mm tiny s -.; draw -- -.; draw -- -.; draw . -- ++ .; draw . -- ++ .; draw -.-. -- ..; draw very thin.-. -- ..; draw -.. -- ..; node at .. tiny d; % Winkel draw dashed .- -- ++ .*..*; draw dashed .- -- ++ -.*..*; draw fillred!drawnone .- -- ++ -.*..* arc .:.:. -- ++ -.*.-.*; draw .- ++ -.*..* arc .:.:.; node at .-. tiny varphi; % Bimetal gebogen draw blue!fillblue! .- ++ -.*..* arc .:.:. -- ++ .*..* arc .:.:.; draw orange!fillorange! .- ++ -.*..* arc .:.:. -- ++ .*..* arc .:.:.; % Beschriftung draw .- -- ++ .*-.*.; draw .- ++ .*..* -- ++ .*-.*.; draw .- ++ .*..* -- ++ .*-.*.; draw - .- ++ ./.*-./.*. -- node right tiny r ++ .*..*; draw - .- ++ .*..* ++ ./.*-./.*. -- ++-.*.-.*; node rightyshift-mm at - tiny d; tikzpicture center Tipp: Berechnen Sie die Verlängerung der mittleren „Fasern“ in den beiden Streifen und setzten sie diese ins Verhältnis zu den Radien r sowie r+d der beiden zugehörigen Kreissektoren vgl. Abb..
Solution:
Nun die Längen nach der Erwämung sind: s_Z s+alpha_ZDelta T und s_St s+alpha_StDelta T. Gleichzeitig gilt für den Bogen nach der Erwämung: s_St r varphi und s_Z r+dvarphi rvarphi +dvarphi myRarrow s_Z s_St + dvarphi. Durch einsetzen erhalten wir: s+alpha_ZDelta T s+alpha_StDelta T + dvarphi myRarrow salpha_ZDelta T salpha_StDelta T +dvarphi und aufgelöst nach dem Winkel: varphi fracsalpha_Z - alpha_StDelta Td apx .rad apx .grad wobei alpha_Zapx ^-K^- und alpha_Stapx ^-K^- sind.
Ein Stahl-Zink-Bimetallstreifen ist bei Zimmertemperatur cel gerade vgl. Abb.. Seine Länge beträgt scm die Dicke des Zink- und des Stahl-Streifens betragen je mm. Um welchen Winkel varphi verbiegt sich dieser Bimetallstreifen wenn er auf cel erhitzt wird? center tikzpicture %% Bimetallstreifen % Stahl draw blue!fillblue! node leftyshift.mm tiny Stahl rectangle .; % Zink draw orange!fillorange! . node leftyshift.mm tiny Zink rectangle .; % Beschriftung draw - -. -- node aboveyshift-mm tiny s -.; draw -- -.; draw -- -.; draw . -- ++ .; draw . -- ++ .; draw -.-. -- ..; draw very thin.-. -- ..; draw -.. -- ..; node at .. tiny d; % Winkel draw dashed .- -- ++ .*..*; draw dashed .- -- ++ -.*..*; draw fillred!drawnone .- -- ++ -.*..* arc .:.:. -- ++ -.*.-.*; draw .- ++ -.*..* arc .:.:.; node at .-. tiny varphi; % Bimetal gebogen draw blue!fillblue! .- ++ -.*..* arc .:.:. -- ++ .*..* arc .:.:.; draw orange!fillorange! .- ++ -.*..* arc .:.:. -- ++ .*..* arc .:.:.; % Beschriftung draw .- -- ++ .*-.*.; draw .- ++ .*..* -- ++ .*-.*.; draw .- ++ .*..* -- ++ .*-.*.; draw - .- ++ ./.*-./.*. -- node right tiny r ++ .*..*; draw - .- ++ .*..* ++ ./.*-./.*. -- ++-.*.-.*; node rightyshift-mm at - tiny d; tikzpicture center Tipp: Berechnen Sie die Verlängerung der mittleren „Fasern“ in den beiden Streifen und setzten sie diese ins Verhältnis zu den Radien r sowie r+d der beiden zugehörigen Kreissektoren vgl. Abb..
Solution:
Nun die Längen nach der Erwämung sind: s_Z s+alpha_ZDelta T und s_St s+alpha_StDelta T. Gleichzeitig gilt für den Bogen nach der Erwämung: s_St r varphi und s_Z r+dvarphi rvarphi +dvarphi myRarrow s_Z s_St + dvarphi. Durch einsetzen erhalten wir: s+alpha_ZDelta T s+alpha_StDelta T + dvarphi myRarrow salpha_ZDelta T salpha_StDelta T +dvarphi und aufgelöst nach dem Winkel: varphi fracsalpha_Z - alpha_StDelta Td apx .rad apx .grad wobei alpha_Zapx ^-K^- und alpha_Stapx ^-K^- sind.