Exercise:
Bestimme die schnellste Bahnkurve zwischen zwei Punkten A und B auf welcher ein Massenpunkt unter dem Einfluss der Gravitation reibungsfrei gleitet.

Solution:
Zunächst eine Skizze des vorliegen Problems: center tikzpicturescale % Draw axes draw-latex green -- noderight x; draw-latex green -- nodebelow z; % Draw parabola-like function drawpurple!!white thick smooth plot coordinates . . . . . . . . ; % Draw pos A and B coordinate A at ; fill A circle . nodeabove left A; coordinate B at ; fill B circle . nodebelow right B; coordinate a at ; fill a circle . nodeleft a; coordinate b at ; fill b circle . nodeabove b; coordinate z at ; fill violet z circle . nodeabove violet tiny fzz; coordinate h at .; fill violet h circle . nodeleft above blue!!white; coordinate i at . .; fill violet i circle . nodeleft above red tiny ds; drawblue!!white dashed b -- B; drawblue!!white dashed a -- B; drawblue!!white thick z -- h nodeleft midway tiny dz; drawblack!!white thick i -- h nodebelow midway tiny dx; drawred thick z -- i; tikzpicture center Nun möchte man die Zeit bei vorgegebener Kurve fzz bestimmen. Dafür verwet man einerseits itemize item die Geschwindigkeit bei fzz durch Energieerhaltung: E_textpot E_textkin mgz fracmv^ &Rightarrow vsqrtgz item das Streckenelement der Kurve wie in der Skizze ersichtlich: dds^ ddx^+ddz^ f'z^+ddz^ itemize Mit diesen beiden Grössen kann nun die Zeit berechnet werden wie folgt: Tf _textKurvefracddsv _^a sqrtfrac+f'z^gzddz Das Ziel ist es nun eine Funktion f mithilfe vorgegebener Randbedingungen f fab finden sodass Tf minimal ist. bf Idee: Ableitungstest! Ist hhz beliebig mit hha so beschreibt f+epsilon h epsilon in mathbbR auch eine mögliche Bahnkurve quasi Anfangs- und Endpunkt fix dazwischen Bewegung der Kurve beliebig. Wir verlangen Tfleq Tf+epsilon h für alle solchen h und epsilonin mathbbR demnach muss gelten: fractextdddepsilonTf+epsilon hBig|_epsilon _^a fracpartialpartial epsilonsqrtfrac+f'z+epsilon h'z^gzBigg|_epsilonddz _^a fracf'zh'zsqrtgz+f'z^ddz ^textp.I.fracf'zhzsqrtgz+f'z^Bigg|_epsilon - _^a hzfractextdddzleftfracf'zsqrtgz+f'z^rightddz da hha. Damit dies für alle erlaubten h verschwindet muss also gelten: fractextdddzleftfracf'zsqrtgz+f'z^right D.h. die Lösung des Brachistochronenproblems muss diese Differentialgleichung erfüllen. Dazu löst man: leftfracf'zsqrtgz+f'z^right c itemize item Für c wäre f' also fzf für alle z damit erfüllt es allerdings nicht die gewünschten Randbedingungen fab. Somit können wir c als Lösung ausschlissen. item Ähnliches gilt für c . item Es bleibt somit einzig c als möglicher Ansatz für eine Lösung. itemize Für c ergibt sich: f'z sqrtfracc^z-c^z solange z fracc^. Um die Lösung zu verstehen substituiert man: z fracc^sin^leftfracPhiright fracc^-cos Phi sodass fracddfddz sqrtfracsin^leftfracPhirightcos^leftfracPhiright fracsinleftfracPhirightcosleftfracPhiright. Für xPhifzPhi ist also fracddxddPhi fracddfddz fracddzddPhi fracsinleftfracPhirightcosleftfracPhiright fracc^sinleftfracPhirightcosleftfracPhiright fracc^sin^leftfracPhiright which leads to Rightarrow xPhix+_^Phi fracc^sin^leftfracPhi'rightddPhi' fracc^Phi-sinPhi Für die Bahnkurve gild damit: pmatrix xPhi zPhi pmatrix pmatrix fracc^Phi-sinPhi fracc^-cosPhi pmatrix bf Bemerkungen itemize item Die Konstante c ist so bestimmt dass es ein Phi_in pi gibt mit pmatrix xPhi zPhi pmatrix pmatrix b a pmatrix also fracbafracPhi_-sinPhi_-cosPhi_ cfracsinleftfracPhi_rightsqrta. item Form der Bahnkurve: Zykloide: R^xPhi-RPhi^+zPhi-R^ Rfracc^ Punkt am Rand eines abrollen Kreises. itemize Für den zeitlichen Verlauf: tPhi _^zPhisqrtfrac+f'z^gzddz _^Phi fracddPhi'csqrtg fracPhicsqrtg d.h. Phi ist proportional zur Zeit. Die minimale Zeit von nach ba ist also: T fracPhi_csqrtg fracPhi_sinleftfracPhi_rightsqrtfracag.