Der fallende Regentropfen
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Exercise:
In einer Höhe h_ über dem Erdboden bildet sich ein Regentropfen in einer Wolke. Währ er dem Boden entgegenfällt nimmt er weiteres Wasser auf sodass seine Masse linear mit der Fallzeit zunimmt: mtklefth_-htright abcliste abc Stelle die Bewegungsgleichung des Tropfens in Abhängigkeit von der Höhe h auf! abc Löse die Bewegungsgleichung unter Verwung des Lösungsansatzes htfracab t^b+c! Welche physikalische Bedeutung hat |a|? abc Nach s Fallzeit hat der Tropfen eine kugelförmige Form mit einem Durchmesser von mm. Berechne hieraus die Massenzunahmenkonstante k! abcliste
Solution:
abcliste abc Diese Aufgabe löst man am Besten über den Impuls: fracmboxdpmboxdt F fracmboxdmvmboxdt F fracmboxdmmboxdt v + m fracmboxdvmboxdt -mg -kfracmboxdhmboxdt v + m fracmboxd^hmboxdt^ -mg -kfracmboxdhmboxdt fracmboxdhmboxdt + klefth_-hright fracmboxdhmboxdt^ -klefth_-hrightg -dot h^ + lefth_-hright ddot h -h_g+hg -dot h^ + lefth_-hright ddot h +h_-hg abc Einsetzen des Lösungsansatzes liefert: -fracabt^b ab-t^b- -a^t^b- -gfracabt^b Für tneq lässt sich diese Gleichung vereinfachen zu: a^fracb-bt^b- + gfracab Da a und b nicht von der Zeit abhängen muss b sein womit a -fracg ist. Aus der Anfangsbedingung hh_ folgt zudem direkt dass ch_. Die Höhe in Abhängigkeit der Zeit ist somit: ht h_ -fracgt^ Der Wert von a legt somit die effektive Beschleunigung des Tropfens fest. abc Für die Massenzunahme erhält man: mt fracgkt^ Aus der Bedingung ms fracpi r^ rho findet man direkt den Zahlenwert für k frac pirhogt^r^ .kilogrampermeter .milligrampermeter abcliste
In einer Höhe h_ über dem Erdboden bildet sich ein Regentropfen in einer Wolke. Währ er dem Boden entgegenfällt nimmt er weiteres Wasser auf sodass seine Masse linear mit der Fallzeit zunimmt: mtklefth_-htright abcliste abc Stelle die Bewegungsgleichung des Tropfens in Abhängigkeit von der Höhe h auf! abc Löse die Bewegungsgleichung unter Verwung des Lösungsansatzes htfracab t^b+c! Welche physikalische Bedeutung hat |a|? abc Nach s Fallzeit hat der Tropfen eine kugelförmige Form mit einem Durchmesser von mm. Berechne hieraus die Massenzunahmenkonstante k! abcliste
Solution:
abcliste abc Diese Aufgabe löst man am Besten über den Impuls: fracmboxdpmboxdt F fracmboxdmvmboxdt F fracmboxdmmboxdt v + m fracmboxdvmboxdt -mg -kfracmboxdhmboxdt v + m fracmboxd^hmboxdt^ -mg -kfracmboxdhmboxdt fracmboxdhmboxdt + klefth_-hright fracmboxdhmboxdt^ -klefth_-hrightg -dot h^ + lefth_-hright ddot h -h_g+hg -dot h^ + lefth_-hright ddot h +h_-hg abc Einsetzen des Lösungsansatzes liefert: -fracabt^b ab-t^b- -a^t^b- -gfracabt^b Für tneq lässt sich diese Gleichung vereinfachen zu: a^fracb-bt^b- + gfracab Da a und b nicht von der Zeit abhängen muss b sein womit a -fracg ist. Aus der Anfangsbedingung hh_ folgt zudem direkt dass ch_. Die Höhe in Abhängigkeit der Zeit ist somit: ht h_ -fracgt^ Der Wert von a legt somit die effektive Beschleunigung des Tropfens fest. abc Für die Massenzunahme erhält man: mt fracgkt^ Aus der Bedingung ms fracpi r^ rho findet man direkt den Zahlenwert für k frac pirhogt^r^ .kilogrampermeter .milligrampermeter abcliste