Erwartungswert von Überlagerung
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Exercise:
Ein Überlagerungszustand der beiden tiefsten Energieniveaus E_ und E_ für den unlichen Potentialtopf hat den Erwartungswert E_. Bestimmen Sie die Wellenfunktion für die Überlagerung und die Standardabweichung.
Solution:
Eine Überlagerung der beiden EnergiEigenzustände zu E_ und E_ wird beschrieben durch die Wellenfunktion psixt c_ psi_xt+c_ psi_xt Die Koeffizienten c_ und c_ erfüllen die Bedingung c_^+c_^ Der Erwartungswert der Energie im Zustand psi ist langle E rangle c_^ E_ + c_^ E_ c_^ E_ + c_^ E_ c_^+ c_^ E_ Für den vorgegebenen Erwartungswert gilt daher c_^+ c_^ Mit c_^-c_^ folgt c_^+-c_^ - c_^ Longrightarrow c_^ frac Longrightarrow c_ sqrtfrac Longrightarrow c_ sqrtfrac Die gesuchte Wellenfunktion ist psixt resultsqrtfracpsi_xt + sqrtfracpsi_xt Der Erwartungswert für das Quadrat der Energie ist langle E^ rangle frac E_^ + frac E_^ frac E_^ + frac E_^ frac E_^ Es folgt für die Varianz sigma^ langle E^ rangle - langle E rangle^ fracE_^ - E_^ frac E_^ E_^ Die Standardabweichung ist folglich sigma resultsqrt E_
Ein Überlagerungszustand der beiden tiefsten Energieniveaus E_ und E_ für den unlichen Potentialtopf hat den Erwartungswert E_. Bestimmen Sie die Wellenfunktion für die Überlagerung und die Standardabweichung.
Solution:
Eine Überlagerung der beiden EnergiEigenzustände zu E_ und E_ wird beschrieben durch die Wellenfunktion psixt c_ psi_xt+c_ psi_xt Die Koeffizienten c_ und c_ erfüllen die Bedingung c_^+c_^ Der Erwartungswert der Energie im Zustand psi ist langle E rangle c_^ E_ + c_^ E_ c_^ E_ + c_^ E_ c_^+ c_^ E_ Für den vorgegebenen Erwartungswert gilt daher c_^+ c_^ Mit c_^-c_^ folgt c_^+-c_^ - c_^ Longrightarrow c_^ frac Longrightarrow c_ sqrtfrac Longrightarrow c_ sqrtfrac Die gesuchte Wellenfunktion ist psixt resultsqrtfracpsi_xt + sqrtfracpsi_xt Der Erwartungswert für das Quadrat der Energie ist langle E^ rangle frac E_^ + frac E_^ frac E_^ + frac E_^ frac E_^ Es folgt für die Varianz sigma^ langle E^ rangle - langle E rangle^ fracE_^ - E_^ frac E_^ E_^ Die Standardabweichung ist folglich sigma resultsqrt E_