Exercise:
Die Funktion f ist auf dem Intervall -pipi wie folgt definiert: fx pi x - dfracpix^. F"ur alle "ubrigen x in mathbbRsetminus -pipi wird diese Definition pi-periodisch fortgesetzt. enumerate itema Skizziere den Graphen von f f"ur -pi leq x leq pi. itemb Beweise dass f eine ungerade Funktion ist. itemc Berechne formal den exakten Wert des Fourierkoeffizienten b_. F"ur den numerisch berechneten Wert gibt es nicht die volle Punktzahl. enumerate

Solution:
enumerate itema Graph: hfill P center tikzpicturescale. tikzsetdeclare functionfx/pi*x*x-pi*x; defxmin- defxmax defymin- defymax %%% drawthick-latex xmin -- xmax noderightx; drawthick-latex ymin -- ymax nodeabove y; %%% foreach x/lab in -/-pi -/-pi /pi /pi: drawthick x*pi. -- ++-. nodebelow lab; %%% foreach y in - - : drawthick . y -- ++-. nodeleft y; %%% drawthickreddomain-*pi:samplessmooth plot x fx+pi; drawthickreddomain:*pisamplessmooth plot x fx-pi; tikzpicture center itemb -f-x -left-pi x + dfracpix^right pi x - dfracpix^ fx f"ur alle x in mathbbR hfill P itemc displaystyle b_ dfracpi _-pi^pi left pi x - dfracpix^right sin x textdx _-pi^pi xsin x textdx - dfracpi^ _-pi^pi x^sin x textdx hfill P medskip Werte die Integrale einzeln aus: medskip edt _-pi^pi xsin x textdx big-x cos xbig_-pi^pi + _-pi^pi cos x textdx ex big-pi - + -pi -big + bigsin xbig_-pi^pi pi + pi ed hfill P medskip edt _-pi^pi x^sin x textdx big-x^ cos xbig_-pi^pi + _-pi^pi x^cos x textdx ex big-pi^ - + -pi^ -big + bigx^ sin xbig_-pi^pi - _-pi^pi x sin x textdx ex pi^ + - _-pi^pi x sin x textdx ex pi^ - pi ed hfill P Im letzten Schritt wurde das Resultat aus dem ersten Integral verwet. Insgesamt: b_ pi - dfracpi^bigpi^ - pi big pi - pi + dfracpi dfracpi approx . hfill P %item Berechne mit Hilfe des Taschenrechners auch die %Fouierkoeffizienten b_ und b_. enumerate