Hängendes Seil
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Exercise:
Ein Seil mit der Dichte rho der Länge ell und der Querschnittsfläche A wird an einer Decke befestigt so dass es frei beweglich herabhängen kann. Nach oben hin nimmt die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Transversalwellen zu da die Seilspannung infolge des Eigengewichtes mit zunehmer Höhe anwächst. abcliste abc Berechne die Ausbreitungsgeschwindigkeit als Funktion des Abstandes zum unteren Seile. abc Wie gross ist die Zeit in der eine Erregung vom unteren Ende des Seils zur Decke und -- nach einer Relfexion an derselben -- wieder zurück gelangt? abcliste
Solution:
abcliste abc Die Ausbreitungsgeschwindigkeit auf einem Seil ist gegeben durch: c sqrtfracFmu sqrtfracFrho A Sie ist folglich nicht konstant weil nicht überall im Seil die gleiche Spannkraft F herrscht; sie ist unten kleiner als oben da sie ja aufgrund des unter einem bestimmten Punkt hängen Seilstückes zustande kommt. Diese Kraft ist in Entfernung x zum unteren Seile gegeben durch Fx rho V g rho A x g womit die Geschwindigkeit an diesem Punkt cx sqrtgx beträgt. abc Bei konstanter Ausbreitungsgeschwindigkeit wäre die Laufzeit für die Strecke ell gegeben durch T' fracellc. Die Laufzeit für eine kleine Teilstrecke mboxdx wäre folgerichtig mboxdt fracmboxdxcx fracmboxdxsqrtgx Die gesamte Laufzeit ist also: T _^ell fracmboxdxsqrtgx sqrtfracellg abcliste
Ein Seil mit der Dichte rho der Länge ell und der Querschnittsfläche A wird an einer Decke befestigt so dass es frei beweglich herabhängen kann. Nach oben hin nimmt die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Transversalwellen zu da die Seilspannung infolge des Eigengewichtes mit zunehmer Höhe anwächst. abcliste abc Berechne die Ausbreitungsgeschwindigkeit als Funktion des Abstandes zum unteren Seile. abc Wie gross ist die Zeit in der eine Erregung vom unteren Ende des Seils zur Decke und -- nach einer Relfexion an derselben -- wieder zurück gelangt? abcliste
Solution:
abcliste abc Die Ausbreitungsgeschwindigkeit auf einem Seil ist gegeben durch: c sqrtfracFmu sqrtfracFrho A Sie ist folglich nicht konstant weil nicht überall im Seil die gleiche Spannkraft F herrscht; sie ist unten kleiner als oben da sie ja aufgrund des unter einem bestimmten Punkt hängen Seilstückes zustande kommt. Diese Kraft ist in Entfernung x zum unteren Seile gegeben durch Fx rho V g rho A x g womit die Geschwindigkeit an diesem Punkt cx sqrtgx beträgt. abc Bei konstanter Ausbreitungsgeschwindigkeit wäre die Laufzeit für die Strecke ell gegeben durch T' fracellc. Die Laufzeit für eine kleine Teilstrecke mboxdx wäre folgerichtig mboxdt fracmboxdxcx fracmboxdxsqrtgx Die gesamte Laufzeit ist also: T _^ell fracmboxdxsqrtgx sqrtfracellg abcliste