Exercise:
Mit dem unten abgebildeten Katapult sollen Steine mit einer Masse von pqkg weggeschleudert werden. Der drehe Balken das Katapults pqkg ist beim Laden des Steines siehe linke Skizze ^circ unter der Horizontalen; wenn der Stein den Balken mit einer Geschwindigkeit von pq verlässt ist er ^circ über der Horizontalen gestrichelt eingezeichnet. Die den Stein beschleunige Masse auf seiner Gegenseite betrage pqkg. center tikzpicturescale.latex nodered!!white at :.cm ^circ; nodeblue!!white at .:.cm ^circ; %draw- --.---.; %nodefillwhite rotate at -. pq.m; drawblack dotted ---; %winkel filldrawfillred!!white --- arc ::-- cycle; filldrawfillblue!!white --- arc ::-- cycle; %ORIGINALS pgftransformrotate %Gegengewicht filldrawcolorblack fillblack!!white rectangle .-; filldrawcolorblack fillblack!!white . rectangle -; filldrawcolorblack fillblack!!white . rectangle -; filldrawcolorblack fillblack!!white . rectangle -; %Dreher Balken filldrawcolorblack fillrgb:red.;green;yellow -. rectangle -.; drawultra thick black -.. arc -::.; filldrawcolorblack!!white fillblack!!white -. circle .cm; %BACK TO NORMAL pgftransformrotat %DASHED ROTATION pgftransformrotat %Gegengewicht DASHED filldrawcolorblack fillwhite dashed rectangle .-; filldrawcolorblack fillwhite dashed . rectangle -; filldrawcolorblack fillwhite dashed . rectangle -; filldrawcolorblack fillwhite dashed . rectangle -; %Dreher Balken DASHED filldrawcolorblack fillwhite dashed -. rectangle -.; drawdashed black -.. arc -::.; filldrawdotted colorblack fillwhite -. circle .cm; %BACK TO NORMAL pgftransformrotate %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %GERÜST %Streben filldrawcolorblack fillrgb:red;green;yellow --. rectangle -.; pgftransformrotate. filldrawcolorblack fillrgb:red;green;yellow -. rectangle .-.; pgftransformrotat. filldrawcolorblack fillrgb:red;green;yellow -. rectangle .-.; %backnormal pgftransformrotate. % Rotationsachse filldrawcolorblack fillrgb:red.;green;yellow circle .cm; % Räder filldrawcolorblack fillrgb:red.;green;yellow -- circle .cm; filldrawcolorblack fillrgb:red.;green;yellow - circle .cm; filldrawcolorblack fillblack -- circle .cm; filldrawcolorblack fillblack - circle .cm; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% pgftransformxshiftcm % PLAN %Gegengewicht DASHED filldrawcolorblack fillwhite rectangle .-; filldrawcolorblack fillwhite . rectangle -; filldrawcolorblack fillwhite . rectangle -; filldrawcolorblack fillwhite . rectangle -; %Dreher Balken DASHED filldrawcolorblack fillwhite -. rectangle -.; drawblack -.. arc -::.; filldrawcolorblack fillwhite -. circle .cm; %Streben filldrawcolorblack fillwhite --. rectangle -.; pgftransformrotate. filldrawcolorblack fillwhite -. rectangle .-.; pgftransformrotat. filldrawcolorblack fillwhite -. rectangle .-.; %backnormal pgftransformrotate. % Rotationsachse filldrawcolorblack fillblack circle .cm; % Räder filldrawcolorblack fillwhite -- circle .cm; filldrawcolorblack fillwhite - circle .cm; filldrawcolorblack fillblack -- circle .cm; filldrawcolorblack fillblack - circle .cm; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % PLANBESCHRIFTUNG drawdotted .--; draw- ---; draw- --; nodefillwhite at - pqm; nodefillwhite at pqm; pgftransformxshift-cm %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Boden filldrawcolorgreen!!white fillgreen!!white --. rectangle -; drawthick colorgreen!!black decorate decorationsnake segment lengthmm amplitude.mm --.---.; % Steinhaufen filldrawcolorblack!!white fillblack!!white -.-. circle .cm; filldrawcolorblack!!white fillblack!!white -.-. circle .cm; filldrawcolorblack!!white fillblack!!white -.-. circle .cm; %er filldrawcolorblack!!white fillblack!!white -.-. circle .cm; filldrawcolorblack!!white fillblack!!white -.-. circle .cm; %er filldrawcolorblack!!white fillblack!!white -.-. circle .cm; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %eingeschlagene Kugel filldrawcolorblack!!white fillblack!!white -. circle .cm; tikzpicture center abcliste abc Wie weit vom Abschusspunkt entfernt wird ein Stein auf dem Boden aufschlagen? abc Welche mittlere Winkelbeschleunigung muss auf den drehen Teil des Katapults wirken damit die angegebene Abschussgeschwindigkeit erreicht wird? abc Berechne das Trägheitsmoment des drehen Teiles des Katapults bezüglich dem Drehpunkt. Der Stein darf dabei als punktförmige Masse am linken Ende des Balkens angenommen werden. Das Gegengewicht ist ebenfalls punktförmig und wirkt einen Meter vom rechten Ende des Balkens entfernt. Der Balken selbst darf idealisiert als langer Stab betrachtet werden. abc Berechne die Lage des Schwerpunktes des beweglichen Teiles des Katapults gemessen von der Seite des Steines her. abcliste

Solution:
enumerate itema Der Stein wird in einer Höhe von s r_sin^circ + sin^circ pq.m über dem Boden weggeschleudert. Die Zeit welche verstreicht bis der Stein am Boden aufschlägt ist durch die Vertikalkomponente seiner Bewegung gegeben. Es gilt: s fracgt^+ v_y t fracgt^+ v_ cosalpha t+s frac-pq.qt^+ pq cos^circ t+pq.m Das ist eine quadratische Gleichung mit den Lösungen t_ pqs quadtextund t_ pq-.s wovon die erste physikalisch sinnvoll ist um pqm zu fallen braucht ein Körper schon mehr als eine Sekunde. Währ er Zeit t_ legt der Körper in horizontaler bzw. x-Richtung s_x v_x t_ v_ sinalpha t_ pqm zurück. Das ist die Reichweite des Katapults; unabhängig von der Masse der Steine sofern diese das Katapult wirklich mit pq verlassen. itemb Der drehe Balken des Katapults muss in dem Moment in welchem der Stein jenen verlässt eine Winkelgeschwindigkeit von omega fracv_r_ fracpqpqm pq.radps haben. Vorausgesetzt diese wird über eine gleichmässige Winkelbeschleunigung zwischen -^cirs^circ erreicht also über ein gamma^circpq.rad so muss diese alpha fracomega^gamma pq.radpsq betragen. itemc Das Trägheitsmoment des beweglichen drehen Teils des Katapults setzt sich aus drei Komponenten zusammen: Stein Balken und Gegengewicht. Das Trägheitsmoment des Balkens muss ausserdem mit dem Satz von Steiner bezüglich des Drehpunktes angepasst werden. Der Drehpunkt befindet sich nicht in der Mitte des Balkens. Somit erhält man: J J_S + J_B + J_G m_S r_^ + frac m_B ell^ + m_B r_Delta^ + m_G tilde r_^ pq.ekgm^ + pq.ekgm^ + pq.ekgm^ pq.ekgm^ itemd Der Schwerpunkt liegt bei der folgen Stelle auf der Achse des Balkens gerechnet ab der Seite des Steines: tilde x fracM _i^ m_ix_i fracm_S+m_B+m_G m_Sx_S+m_Bx_B+m_Gx_G pq.m enumerate