Exercise:
Aus einem quadratischen Karton Seite acm Soll durch Ausstanzen der schraffierten Quadrate aus Zusammenfalten eine Schachtel ohne Deckel mit maximalem Volumen entstehen. Wie hoch wird diese Schachtel?

Solution:
Die Zielfunktion bzw. der Volumeninhalt der Kiste der maximiert werden soll ist Va x a^ x mit der Nebenbedingung cm leq x leq acm. Der Skizze entnimmt man dass für zwischen aa und x folger Zusammenhang besteht: a a - x Vx xa - x^ Vx pgfmathprnumberCx pgfmathprnumbershowposvaronex^ pgfmathprnumbershowposvartwox^ Daraus folgt für die erste und zweite Ableitung: V'x pgfmathprnumberC pgfmathprnumbershowposBx pgfmathprnumbershowposAx^ x_ pgfmathprnumberxone x_ pgfmathprnumberxtwo V''x pgfmathprnumberB pgfmathprnumbershowposvarthreex colorblue V''pgfmathprnumberxone colorbluepgfmathprnumberB pgfmathprnumbershowposvarthree pgfmathprnumberxone colorredV''pgfmathprnumberxtwo colorredpgfmathprnumberB pgfmathprnumbershowposvarthree pgfmathprnumberxtwo Von diesen beiden Möglichkeiten ist nur die eine richtig: x pgfmathprnumberxone center tikzpicturescale .*/a fillbrown! rectangle a a; draw rectangle a a; draw xone xone rectangle a-xone a-xone; fillblack!!brown rectangle ++xone xone; fillblack!!brown a-xone rectangle ++xone xone; fillblack!!brown a-xone rectangle ++xone xone; fillblack!!brown a-xone a-xone rectangle ++xone xone; draw rectangle ++xone xone; draw a-xone rectangle ++xone xone; draw a-xone rectangle ++xone xone; draw a-xone a-xone rectangle ++xone xone; draw decoratedecorationbraceamplitudeptmirrorraise -- xone nodemidwayyshift-emx; draw decoratedecorationbraceamplitudeptmirrorraise xone -- a-xone nodemidwayyshift-ema; draw decoratedecorationbraceamplitudeptraise -- a nodemidwayxshift-emacm; tikzpicture center